Главная › Математический анализ › Занесение под знак дифференциала › Первообразная методом занесения под знак дифференциала

Первообразная методом занесения под знак дифференциала

В этой задаче требуется найти первообразную методом занесения множителя под знак дифференциала.

Условие

Найдите первообразную для функции:

∫ ( 1 4 − x 2 + 1 3 + x + 1 3 − x ) · ( arcsin x 2 + ln ( 3 + x ) − ln ( 3 − x ) ) − 1 d x

Решение

Шаг 1

Обозначим выражение в скобках через u(x). Заметим, что это выражение — составная функция, производная которой может оказаться в точности первой скобкой подынтегрального выражения.

Почему именно это обозначение?

Метод занесения под знак дифференциала работает, когда подынтегральное выражение можно представить в виде u′(x)/u(x). Тогда u′(x) dx = du, и интеграл сводится к табличному ∫ du/u = ln|u| + C. В нашем случае выражение в знаменателе — естественный кандидат на роль u(x), а скобка в числителе может оказаться u′(x).

u ( x ) = arcsin x 2 + ln ( 3 + x ) − ln ( 3 − x )

Шаг 2

Вычислим производную u′(x). Используем правило дифференцирования сложной функции:

u ′ ( x ) = 1 4 − x 2 + 1 3 + x + 1 3 − x

Шаг 3

Как видим, u′(x) в точности совпадает со скобкой в числителе исходного интеграла. Значит, можно занести u′(x) dx под знак дифференциала:

Что даёт занесение под дифференциал?

Замена u′(x) dx = du превращает сложное на вид подынтегральное выражение u′(x)/u(x) dx в табличный интеграл du/u. Такой приём называется «занесение множителя под знак дифференциала». Это частный случай метода замены переменной, выполняемый устно, без явного выписывания новой переменной.

∫ u ′ ( x ) u ( x ) d x = ∫ d u u

Шаг 4

Интеграл от du/u — табличный:

∫ d u u = ln | u | + C

Шаг 5

Возвращаемся к переменной x, подставляя вместо u(x) исходное выражение:

ln | arcsin x 2 + ln ( 3 + x ) − ln ( 3 − x ) | + C

Ответ

ln|arcsin(x/2) + ln(3+x) − ln(3−x)| + C.

Частые вопросы

В чём суть метода занесения под знак дифференциала?

Метод заключается в том, что часть подынтегрального выражения представляют как дифференциал некоторой функции u(x): u′(x) dx = du. Тогда интеграл принимает более простой вид относительно u. Часто это приводит к табличному интегралу.

Как понять, что нужно занести под дифференциал?

Ищите в подынтегральном выражении пару «функция и её производная». Если одна часть выражения похожа на производную другой части — это сигнал, что подходит метод занесения. В нашем случае скобка u′(x) — производная выражения в знаменателе u(x).

Чем метод занесения отличается от обычной замены переменной?

Технически это одно и то же. При замене переменной мы явно вводим новую переменную t = u(x), вычисляем dt = u′(x) dx и переписываем интеграл. При занесении под дифференциал мы делаем это устно: сразу заменяем u′(x) dx на du, не выписывая переменную t. Результат одинаковый.

Почему в ответе появляется модуль?

При интегрировании ∫ du/u = ln|u| + C. Модуль обязателен, потому что логарифм определён только для положительных аргументов. В нашем случае выражение u(x) может быть отрицательным на некоторых участках области определения, поэтому ответ записывается с модулем.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.