Главная › Решения › ЕГЭ и ОГЭ › ЕГЭ профиль › Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Эта страница — часть раздела «Задание 1 ЕГЭ профиль. Простейшие уравнения». Здесь — решения иррациональных уравнений с «красивыми» целыми корнями. Каждая задача содержит условие, пошаговое решение с проверкой корней и ответ.

Задачи с решениями

Задача 1. Уравнение с посторонним корнем

Решите уравнение:

x+6=x

Возведём обе части в квадрат. При этом могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна:

x+6=x2⇒x2−x−6=0

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

x1=3,x2=−2

Проверяем корни. При x = 3: √(3 + 6) = √9 = 3 — верно. При x = −2: √(−2 + 6) = √4 = 2, но правая часть равна −2. Получаем 2 = −2 — неверно, корень посторонний.

Посторонний корень x = −2 отбрасываем.

Ответ: x=3.

Задача 2. Простейшее уравнение

Решите уравнение:

2x+3=3

Возведём обе части в квадрат и выразим x:

2x+3=9⇒2x=6⇒x=3

Проверка: √(2·3 + 3) = √9 = 3 — верно.

Ответ: x=3.

Задача 3. Два корня

Решите уравнение:

x2−3x+3=1

Возведём обе части в квадрат и приведём к квадратному уравнению:

x2−3x+3=1⇒x2−3x+2=0

По теореме Виета корни:

x1=1,x2=2

Проверка: при x = 1 и x = 2 подкоренное выражение равно 1, √1 = 1 — оба корня подходят.

Ответ: x1=1, x2=2.

Задача 4. Два корня в уравнении

Решите уравнение:

x+5−x−3=2

Уединим один корень в левой части:

x+5=2+x−3

Возведём обе части в квадрат и упростим:

x+5=4+4x−3+x−3 4=4x−3⇒x−3=1⇒x−3=1⇒x=4

Проверка: √(4 + 5) − √(4 − 3) = √9 − √1 = 3 − 1 = 2 — верно.

Ответ: x=4.

Частые вопросы

Как решать иррациональные уравнения из задания 1 ЕГЭ?

Основной метод — возведение обеих частей в квадрат. После возведения получается уравнение без корней, которое решается стандартно. Обязательный шаг — проверка корней: возведение в квадрат может породить посторонние корни.

Почему появляются посторонние корни?

Потому что возведение в квадрат — неравносильное преобразование: если a = −b, то a² = b², но обратное неверно. Поэтому после возведения в квадрат нужно проверить каждый корень подстановкой в исходное уравнение.

Когда проверку корней можно не делать?

Если обе части уравнения неотрицательны при всех допустимых x и возведение в квадрат не меняет знак, проверку можно заменить условием неотрицательности правой части. Но в ЕГЭ надёжнее всегда делать проверку — это занимает секунды.

Что делать, если в уравнении два корня?

Сначала уединить один корень (перенести второй в другую часть), затем возвести в квадрат. После упрощения может остаться ещё один корень — возводим в квадрат повторно. Проверка обязательна на каждом шаге.

Смотрите также