Главная › Математический анализ › Первообразная и интеграл › Первообразная для f(x) = x² cos x³

Первообразная для f(x) = x² cos x³

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = x² cos x³, удовлетворяющую условию F(0) = 0.

Условие

f ( x ) = x2 cos x3 , F ( 0 ) = 0

Решение

Шаг 1

Заметим, что производная от x³ равна 3x². Следовательно, d(x³) = 3x² dx. Это позволяет внести множитель x² под знак дифференциала.

d ( x3 ) = 3 x2 d x

Шаг 2

Перепишем исходный интеграл, выделив множитель 1/3:

∫ x2 cos x3 d x = 13 ∫ cos ( x3 ) d ( x3 )

Шаг 3

Выполним замену переменной t = x³. Тогда интеграл принимает табличный вид:

13 ∫ cos t d t = 13 sin t + C

Шаг 4

Возвращаемся к переменной x:

F ( x ) = 13 sin x3 + C

Шаг 5

Теперь найдём постоянную C из начального условия F(0) = 0. Подставим x = 0:

13 sin 0 + C = 0

Шаг 6

Отсюда получаем C = 0. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

F ( x ) = 13 sin x3

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = x² cos x³?

Использовать метод замены переменной. Замечаем, что d(x³) = 3x² dx, поэтому интеграл можно переписать в виде (1/3) ∫ cos(x³) d(x³). Затем выполняется замена t = x³, интеграл сводится к табличному ∫ cos t dt = sin t + C.

Зачем нужна постоянная C и как её найти?

Постоянная C возникает при неопределённом интегрировании, поскольку производная константы равна нулю. Её значение находится из начального условия — например, F(0) = 0. Для этого подставляем x = 0 в выражение для F(x) и решаем уравнение относительно C.

Почему в этой задаче удобна замена t = x³?

Замена t = x³ превращает сложный интеграл ∫ x² cos x³ dx в табличный ∫ cos t dt. Без замены этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Именно наличие множителя x², пропорционального производной от x³, делает такую замену возможной.

В чём разница между первообразной и неопределённым интегралом?

Неопределённый интеграл — это семейство всех первообразных: ∫ f(x) dx = F(x) + C. Первообразная с конкретным значением C — одна функция из этого семейства. В задаче требуется найти именно конкретную первообразную, удовлетворяющую начальному условию.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.