Главная › Математический анализ › Поверхностные интегралы › Поток второго рода по параболоиду x²+y²+2z = 4

Поток второго рода по параболоиду x²+y²+2z = 4

В этой задаче требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне параболоида, используя теорему Остроградского-Гаусса.

Условие

Вычислить поверхностный интеграл второго рода:

∬ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y

где S — верхняя сторона части параболоида x² + y² + 2z = 4, z ≥ 0.

Решение

Шаг 1

Обозначим компоненты векторного поля:

P = x 2 , Q = y 2 , R = z 2

Шаг 2

Вычислим дивергенцию векторного поля:

div F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = 2 x + 2 y + 2 z

Шаг 3

Параболоид x² + y² + 2z = 4 при z = 0 пересекает плоскость Oxy по окружности x² + y² = 4 радиуса 2. Замкнём поверхность S кругом D в плоскости z = 0 (x² + y² ≤ 4) с внешней нормалью вниз. Тогда Σ = S ∪ D — замкнутая поверхность.

Почему замыкаем именно кругом в плоскости z = 0?

Граница поверхности S — окружность x² + y² = 4 в плоскости z = 0. Естественное замыкание — плоский круг, натянутый на эту окружность. Вместе S и D образуют замкнутую поверхность, ограничивающую тело V под параболоидом.

Шаг 4

Применим теорему Остроградского-Гаусса к замкнутой поверхности Σ:

∬ S + ∬ D = ∭ V ( 2 x + 2 y + 2 z ) d V

Шаг 5

В силу симметрии тела V относительно плоскостей x = 0 и y = 0:

Почему ∭ x dV = ∭ y dV = 0?

Область V симметрична относительно плоскости x = 0: каждой точке (x, y, z) соответствует точка (−x, y, z) с той же плотностью. Вклад этих точек в интеграл от x взаимно уничтожается. Аналогично для y. Функция z такой симметрией не обладает, поэтому её интеграл ненулевой.

∭ V x d V = ∭ V y d V = 0

Шаг 6

Осталось вычислить ∭_V z dV. Перейдём к цилиндрическим координатам:

∭ V z d V = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 2 r d r ∫ 0 ( 4 − r 2 ) / 2 z d z ∫ 0 ( 4 − r 2 ) / 2 z d z = ( 4 − r 2 ) 2 8

Шаг 7

Вычислим внутренний интеграл по z, а затем средний интеграл по r с заменой u = 4 − r²:

∫ 0 2 r · ( 4 − r 2 ) 2 8 d r = 4 3
Как выполняется замена u = 4 − r²?

При подстановке u = 4 − r² получаем du = −2r dr, откуда r dr = −du/2. Пределы: при r = 0 имеем u = 4, при r = 2 имеем u = 0. Смена пределов вместе с знаком минус превращает интеграл в ∫₀⁴ u² du / 2.

Шаг 8

Внешний интеграл по φ даёт множитель 2π:

∭ V z d V = 4 3 · 2 π = 8 π 3 ∭ V ( 2 x + 2 y + 2 z ) d V = 2 · 8 π 3 = 16 π 3

Шаг 9

Вычислим интеграл по кругу D. На D: z = 0, поэтому R = z² = 0, и весь интеграл обращается в нуль:

∬ D = − ∬ D z 2 d x d y = 0
Почему интеграл по D равен нулю?

На круге D координата z тождественно равна нулю, поэтому R = z² = 0. Внешняя нормаль n = (0, 0, −1), значит скалярное произведение (F, n) = −R = 0. Следовательно, вклад круга D в поток равен нулю.

Шаг 10

По аддитивности: ∬_S = ∭_V − ∬_D. Подставим найденные значения:

∬ S = 16 π 3 − 0 = 16 π 3

Ответ

16π/3.

Частые вопросы

Как вычислить поток через верхнюю сторону параболоида?

Поверхность параболоида не замкнута, поэтому её замыкают кругом в плоскости z = 0. Применяют теорему Остроградского-Гаусса к замкнутой поверхности, вычисляют тройной интеграл от дивергенции, а затем вычитают интеграл по замыкающему кругу.

Почему ответ в этой задаче больше, чем в задаче 9.3 (3π/4)?

В задаче 9.3 поверхность — полусфера радиуса 1, объём тела V = 2π/3. Здесь параболоид x² + y² + 2z = 4 ограничивает большее тело (радиус основания 2, высота 2). Объём и интеграл от z получаются соответственно больше, что и даёт больший итоговый ответ 16π/3.

Как выбрать порядок интегрирования в цилиндрических координатах?

Обычно интегрируют в порядке: сначала по z (от нижней границы до верхней), затем по r (от 0 до границы проекции), затем по φ (от 0 до 2π). Такой порядок удобен, когда тело ограничено поверхностью z = f(x, y) сверху и плоскостью z = 0 снизу.

Что делать, если дивергенция поля сложная?

Если дивергенция содержит слагаемые, антисимметричные относительно координатных плоскостей, их вклады обнуляются за счёт симметрии области. Это существенно упрощает вычисления. В нашей задаче так обнуляются ∭ x dV и ∭ y dV.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.