Главная › Математический анализ › Несобственные интегралы › Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x) от 1 до ∞

Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x) от 1 до ∞

В этой задаче требуется исследовать на сходимость несобственный интеграл 1-го рода с бесконечным верхним пределом.

Условие

∫ 1 + ∞ arccos 1 x x x d x

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция f(x) = arccos(1/x)/(x√x) определена и непрерывна на [1, +∞): при x ≥ 1 аргумент 1/x лежит в промежутке (0, 1], поэтому arccos(1/x) принимает значения из [0, π/2]; знаменатель x√x = x3/2 ≥ 1 положителен. Значит, интеграл — несобственный 1-го рода. Для исследования сходимости применим признак сравнения в форме оценки сверху.

Почему функция непрерывна на всём промежутке?

Функция arccos u определена и непрерывна при u ∈ [−1, 1]. При x ≥ 1 величина 1/x ∈ (0, 1], что попадает в этот промежуток. Знаменатель x√x = x3/2 при x ≥ 1 не обращается в нуль. Таким образом, на всём [1, +∞) подынтегральная функция непрерывна, и единственная особенность интеграла — бесконечный верхний предел.

Шаг 2

Оценим подынтегральную функцию сверху через более простую функцию, интеграл от которой легко исследуется.

Шаг 3

Для любого x ≥ 1 значение arccos(1/x) ограничено:

0 ≤ arccos 1 x ≤ π 2

Шаг 4

Поделив числитель и знаменатель, получаем оценку подынтегральной функции:

0 ≤ f ( x ) ≤ π / 2 x 3 / 2
Почему достаточно ограничения числителя?

Мы заменяем числитель arccos(1/x) на его максимальное значение π/2. Так как знаменатель положителен, дробь от этого только увеличивается. Полученная функция g(x) = 1/x3/2 — степенная, её интеграл на [1, +∞) известен и сходится. Это и позволяет применить признак сравнения в форме оценки сверху.

Шаг 5

Рассмотрим эталонный интеграл от функции сравнения:

∫ 1 + ∞ d x x 3 / 2
Почему эталонный интеграл сходится?

Интеграл ∫₁⁺∞ dx/xα сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Это классический эталонный несобственный интеграл 1-го рода. В нашем случае α = 3/2 > 1, поэтому интеграл от g(x) сходится.

Шаг 6

По признаку сравнения в форме оценки сверху: если 0 ≤ f(x) ≤ C·g(x) при x ≥ a и интеграл ∫ g(x) dx сходится, то интеграл ∫ f(x) dx также сходится. В нашем случае f(x) ≤ (π/2)·(1/x3/2), а интеграл от 1/x3/2 сходится. Следовательно, исходный интеграл сходится.

Ответ

Сходится.

Частые вопросы

Как исследовать несобственный интеграл на сходимость?

Основной метод — признак сравнения. Подбирают более простую функцию g(x), эквивалентную f(x) при x → +∞ (или при x → a в особой точке), и сравнивают интегралы. Если 0 ≤ f(x) ≤ C·g(x) и ∫ g сходится, то ∫ f тоже сходится. Если f(x) ≥ C·g(x) и ∫ g расходится, то ∫ f тоже расходится.

Как подобрать функцию сравнения g(x)?

Смотрят на поведение числителя и знаменателя при x → +∞. В нашем случае числитель arccos(1/x) ограничен (не растёт), а знаменатель x√x = x3/2 ведёт себя как степенная функция. Поэтому g(x) = 1/x3/2.

Что такое эталонный интеграл ∫₁⁺∞ dx/xᵅ?

Это несобственный интеграл 1-го рода, сходимость которого зависит от α. При α > 1 он сходится, при α ≤ 1 расходится. Он используется как эталон: если исследуемый интеграл мажорируется интегралом от C/xα с α > 1, то он сходится.

Почему нельзя вычислить интеграл напрямую?

Подынтегральная функция содержит arccos(1/x) и x√x. Первообразная такой комбинации не выражается через элементарные функции. Поэтому единственный путь — исследовать сходимость с помощью признаков сравнения.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.