Показательные уравнения
Эта страница — часть раздела «Задание 1 ЕГЭ профиль. Простейшие уравнения». Здесь — решения показательных уравнений с «красивыми» целыми корнями. Каждая задача содержит условие, пошаговое решение и ответ.
Задачи с решениями
Задача 1. Приведение к одному основанию
Решите уравнение:
Представим 8 как степень двойки: 8 = 2³. Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: .
Задача 2. Степень в показателе
Решите уравнение:
Представим 27 как степень тройки: 27 = 3³. Получаем:
Так как основание степени больше 1, показатели равны:
Ответ: .
Задача 3. Двойной показатель
Решите уравнение:
Представим 125 как степень пятёрки: 125 = 5³. Получаем:
Приравняем показатели и решим линейное уравнение:
Ответ: .
Задача 4. Замена переменной
Решите уравнение:
Заметим, что 4^x = (2²)^x = (2^x)². Это позволяет свести уравнение к квадратному относительно 2^x:
Введём замену:
Получаем квадратное уравнение:
Возвращаемся к переменной x:
Ответ: , .
Частые вопросы
Как решать показательные уравнения из задания 1 ЕГЭ?
Основной приём — привести обе части к одному основанию. Если это удаётся, показатели приравниваются. Если нет — используют замену переменной (например, t = 2^x) или логарифмирование.
Почему при приведении к одному основанию можно приравнять показатели?
Потому что показательная функция a^x при a > 0 и a ≠ 1 строго монотонна: каждое своё значение она принимает ровно один раз. Значит, из a^u = a^v следует u = v.
Когда нужна замена переменной?
Когда уравнение содержит степени с разными показателями, но одно и то же основание, например 4^x − 3·2^x + 2 = 0. Замена t = 2^x превращает его в квадратное уравнение относительно t.
Почему после замены t = 2^x нужно требовать t > 0?
Потому что 2^x > 0 при любом действительном x. Отрицательные и нулевое значения t не соответствуют никакому x, поэтому корни t ≤ 0 отбрасываются.
