Главная › Математический анализ › Определённый интеграл › Определённый интеграл ctg³x от π/6 до π/4

Определённый интеграл ctg³x от π/6 до π/4

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от котангенса в кубе на отрезке [π/6, π/4].

Условие

∫ π / 6 π / 4 ctg 3 x d x

Решение

Шаг 1

Представим ctg³x через sin и cos:

Почему выражаем котангенс через синус и косинус?

Для нечётных степеней ctg x (или tg x) стандартный приём — выразить котангенс через cos x/sin x. Это позволяет выделить множитель cos x, который можно внести под дифференциал (так как d(sin x) = cos x dx). Дальнейшая замена t = sin x приводит интеграл к табличному виду.

ctg 3 x = cos 3 x sin 3 x

Шаг 2

Перепишем интеграл:

Как внести cos x под дифференциал?

Мы знаем, что d(sin x) = cos x dx. Это значит, что cos x dx = d(sin x). Отделив один множитель cos x в числителе, мы можем заменить cos x dx на d(sin x). Тогда оставшиеся cos²x и sin³x выражены через sin x (используя основное тригонометрическое тождество), и интеграл берётся как степенной относительно sin x.

∫ π / 6 π / 4 cos 3 x sin 3 x d x

Шаг 3

Применим основное тригонометрическое тождество cos²x = 1 − sin²x и учтём, что cos x dx = d(sin x):

cos 2 x = 1 − sin 2 x cos x d x = d ( sin x )

Шаг 4

После подстановки получаем:

∫ π / 6 π / 4 1 − sin 2 x sin 3 x d ( sin x )

Шаг 5

Интегрируем: ∫ u⁻³ du = −1/(2u²), ∫ du/u = ln|u|. Первообразная имеет вид −1/(2sin²x) − ln|sin x|. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[ π / 6 π / 4 − 1 2 sin 2 x − ln | sin x |

Шаг 6

Подставляем пределы. sin(π/4) = √2/2, sin(π/6) = 1/2. После упрощения получаем ответ.

Ответ

1 − 1 2 ln 2

Частые вопросы

Как вычислить определённый интеграл от ctg³x?

Выражаем ctg³x = cos³x/sin³x. Отделяем один множитель cos x и вносим его под дифференциал: cos x dx = d(sin x). Оставшийся cos²x заменяем через 1 − sin²x (основное тригонометрическое тождество). Тогда интеграл сводится к степенному относительно sin x и берётся элементарно.

Почему ответ содержит логарифм?

Потому что при разбиении на два интеграла одно из слагаемых имеет вид ∫ du/u, а этот интеграл равен ln|u| + C. В нашем случае u = sin x, поэтому появляется ln|sin x|.

Почему нельзя брать интеграл от 0 до π/4?

При x → 0+ функция ctg³x → +∞, так как ctg x = cos x/sin x, а sin 0 = 0. Это значит, что в точке x = 0 подынтегральная функция имеет особенность, и интеграл стал бы несобственным. В нашей задаче нижний предел равен π/6, где sin(π/6) = 1/2 ≠ 0, поэтому интеграл собственный.

Что делать с нечётными степенями котангенса в общем случае?

Стандартный приём: ctg^(2n+1)x = cos^(2n+1)x / sin^(2n+1)x. Отделяем один cos x и вносим его под дифференциал, как в этой задаче. Тогда оставшийся cos^(2n)x выражаем через sin²x с помощью основного тригонометрического тождества.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.