Тригонометрические уравнения

Эта страница — часть раздела «Задание 1 ЕГЭ профиль. Простейшие уравнения». Здесь — решения тригонометрических уравнений с «красивыми» табличными значениями. Каждая задача содержит условие, пошаговое решение и ответ в общем виде.

Задачи с решениями

Задача 1. Простейшее уравнение с синусом

Решите уравнение:

1/2 — табличное значение синуса: sin(π/6) = 1/2. Общая формула решения уравнения sin x = a:

Ответ: $x={(-1)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Задача 2. Простейшее уравнение с косинусом

Решите уравнение:

√2/2 — табличное значение косинуса: cos(π/4) = √2/2. Общая формула решения уравнения cos x = a:

Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Задача 3. Простейшее уравнение с тангенсом

Решите уравнение:

1 — табличное значение тангенса: tg(π/4) = 1. Общая формула решения уравнения tg x = a:

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Задача 4. Квадратное относительно sin x

Решите уравнение:

Введём замену t = sin x. Так как синус принимает значения от −1 до 1, на t накладывается ограничение:

Получаем квадратное уравнение относительно t:

Возвращаемся к переменной x:

Ответ:

$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$; $x={(-1)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.