Текстовые задачи

Эта страница — часть раздела «ЕГЭ база. Текстовые задачи». Здесь — решения типовых задач на движение, работу, проценты и смеси. Все задачи составлены самостоятельно, с «красивыми» ответами.

Задачи с решениями

Задача 1. Средняя скорость

Из пункта A в пункт B автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а обратно — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

Средняя скорость на равных участках пути (туда и обратно) вычисляется по формуле среднего гармонического:

v_{ср} = \frac{2 \cdot v_{1} \cdot v_{2}}{v_{1} + v_{2}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48

Ответ: 48 км/ч.

Задача 2. Совместная работа

Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?

Производительность первого — 1/6 заказа в час, второго — 1/12. Сложим производительности:

\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Вместе они делают 1/4 заказа в час. Значит, весь заказ выполнят за:

t = \frac{1}{1 / 4} = 4

Ответ: 4 ч.

Задача 3. Скидка в процентах

Товар стоил 800 рублей. Цену снизили на 25%. Сколько стал стоить товар?

Найдём 25% от 800 — это величина скидки:

800 \cdot \frac{25}{100} = 200

800 - 200 = 600

Ответ: 600 руб.

Задача 4. Концентрация смеси

Смешали 3 литра раствора с концентрацией 20% и 2 литра раствора с концентрацией 30%. Найдите концентрацию получившейся смеси.

Найдём суммарный объём «чистого вещества» в обоих растворах:

3 \cdot 20 + 2 \cdot 30 = 60 + 60 = 120

Общий объём смеси — 3 + 2 = 5 л. Концентрация смеси:

\frac{120}{3 + 2} = \frac{120}{5} = 24

Ответ: 24%.

Частые вопросы

Как найти среднюю скорость на всём пути?

Если участки пути равны, средняя скорость — это среднее гармоническое: v_ср = 2·v₁·v₂/(v₁+v₂). Нельзя просто усреднить скорости (60+40)/2 = 50 — это типичная ошибка.

Как решать задачи на совместную работу?

Производительность каждого участника — это 1/время (доля работы за час). Сложите производительности, чтобы получить общую. Время совместной работы = 1 / общая производительность.

Как найти новую цену после скидки?

Сначала найдите величину скидки: старая цена × процент / 100. Затем вычтите скидку из старой цены. Например, 800 − 25% от 800 = 800 − 200 = 600.

Как найти концентрацию смеси двух растворов?

Найдите суммарное количество «чистого вещества» (объём × концентрация для каждого раствора), сложите, затем разделите на общий объём смеси. Результат умножьте на 100%, если нужна концентрация в процентах.