Главная › Математический анализ › Двойные интегралы › Масса плоской фигуры, ограниченной y = 8 − x² и y = x + 2, с плотностью ρ = 2x²

Масса плоской фигуры, ограниченной y = 8 − x² и y = x + 2, с плотностью ρ = 2x²

В этой задаче требуется найти массу плоской фигуры с переменной плотностью через двойной интеграл.

Условие

Фигура ограничена кривыми:

y = 8 − x 2 , y = x + 2 , ρ ( x , y ) = 2 x 2

Решение

Шаг 1

Найдём точки пересечения кривых. Для этого приравняем выражения для y:

Почему нужно найти точки пересечения?

Точки пересечения определяют границы области интегрирования по x. Без них невозможно правильно расставить пределы во внешнем интеграле.

8 − x 2 = x + 2 ⇒ x 2 + x − 6 = 0 ⇒ x 1 = − 3 , x 2 = 2

Шаг 2

Найдём соответствующие значения y, подставив x в уравнение прямой:

A ( − 3 ; − 1 ) , B ( 2 ; 4 )

Шаг 3

Определяем область интегрирования D. Парабола y = 8 − x² лежит выше прямой y = x + 2 на отрезке [−3; 2] (проверка: при x = 0 парабола даёт 8, прямая — 2). Значит, область D задаётся неравенствами:

D : − 3 ≤ x ≤ 2 , x + 2 ≤ y ≤ 8 − x 2
Почему парабола выше прямой?

Вершина параболы y = 8 − x² находится в точке (0; 8), ветви направлены вниз. Прямая y = x + 2 проходит через (0; 2) с наклоном 1. На отрезке между точками пересечения парабола находится выше прямой, что легко проверить подстановкой x = 0.

Шаг 4

Масса плоской фигуры с переменной плотностью ρ(x, y) вычисляется по формуле:

m = ∬ D ρ ( x , y ) d x d y = ∫ − 3 2 d x ∫ x + 2 8 − x 2 2 x 2 d y

Шаг 5

Вычислим внутренний интеграл по y (при фиксированном x плотность 2x² выносится за знак интеграла):

∫ x + 2 8 − x 2 2 x 2 d y = 2 x 2 ( 6 − x − x 2 )

Шаг 6

После подстановки пределов получаем внешний интеграл по x:

m = ∫ − 3 2 ( 12 x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 ) d x

Шаг 7

Вычисляем определённый интеграл по формуле Ньютона–Лейбница:

m = [ 4 x 3 − x 4 2 − 2 x 5 5 ] − 3 2 = 56 5 − ( − 513 10 ) = 125 2

Ответ

m = 125/2.

Частые вопросы

Как найти массу плоской фигуры через двойной интеграл?

Масса вычисляется по формуле m = ∬_D ρ(x, y) dx dy, где D — область, занимаемая фигурой, а ρ(x, y) — поверхностная плотность. Для вычисления двойной интеграл сводят к повторному, расставляя пределы по границам области.

Как определить порядок обхода области?

Сначала находят точки пересечения граничных кривых — они задают пределы по x. Затем для каждого x определяют, какая кривая лежит ниже, а какая выше — это пределы по y. В нашем случае −3 ≤ x ≤ 2 и x + 2 ≤ y ≤ 8 − x².

Почему плотность выносится за знак внутреннего интеграла?

Плотность ρ(x, y) = 2x² зависит только от x. При интегрировании по y (при фиксированном x) множитель 2x² является константой, поэтому его можно вынести за знак внутреннего интеграла.

Что делать, если граничные кривые пересекаются в нескольких точках?

Если кривые пересекаются более чем в двух точках, область разбивают на несколько частей и вычисляют интеграл на каждой отдельно, а затем складывают результаты. В нашем случае парабола и прямая пересекаются ровно в двух точках, поэтому область одна.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.