Главная › Решения › ЕГЭ и ОГЭ › ЕГЭ профиль › Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Эта страница — часть раздела «Задание 1 ЕГЭ профиль. Простейшие уравнения». Здесь — решения квадратных уравнений с «красивыми» корнями (в том числе дробными). Каждая задача содержит условие, пошаговое решение и ответ.

Задачи с решениями

Задача 1. Приведённое уравнение (теорема Виета)

Решите уравнение:

x2−5x+6=0

Уравнение приведённое (коэффициент при x² равен 1). По теореме Виета сумма корней равна 5, а произведение равно 6:

x1+x2=5,x1·x2=6

Подбираем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3.

Ответ: x1=2, x2=3.

Задача 2. Полное уравнение (через дискриминант)

Решите уравнение:

2x2−7x+3=0

Найдём дискриминант по формуле D = b² − 4ac:

D=b2−4ac=(−7)2−4·2·3=49−24=25 x1,2=7±252·2=7±54

Корни: x₁ = (7 + 5)/4 = 3, x₂ = (7 − 5)/4 = 1/2.

Ответ: x1=3, x2=12.

Задача 3. Неполное квадратное уравнение

Решите уравнение:

3x2−12=0

Перенесём свободный член вправо и разделим обе части на 3:

3x2=12⇒x2=4⇒x=±2

Ответ: x1=−2, x2=2.

Задача 4. Вынесение общего множителя

Решите уравнение:

x2+4x=0

Вынесем общий множитель x за скобки. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x(x+4)=0⇒x=0илиx+4=0

Ответ: x1=−4, x2=0.

Частые вопросы

Как решать квадратные уравнения из задания 1 ЕГЭ?

Есть три основных способа: через дискриминант (универсальный), по теореме Виета (для приведённых уравнений с целыми корнями) и через вынесение общего множителя или разность квадратов (для неполных уравнений). Выбор способа зависит от вида уравнения.

Когда удобно применять теорему Виета?

Теорема Виета удобна, когда уравнение приведённое (a = 1) и корни — целые числа. Тогда сумма корней равна −b, а произведение равно c, и корни можно подобрать устно. Если корни дробные или уравнение полное — проще через дискриминант.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней. В задании 1 ЕГЭ профиль такие уравнения не встречаются — ответ всегда действительный. Если D = 0, корень один (кратности 2).

Как решать неполные квадратные уравнения?

Если уравнение имеет вид ax² + c = 0 (нет слагаемого с x), переносим c вправо и извлекаем корень: x = ±√(−c/a). Если вид ax² + bx = 0 (нет свободного члена), выносим x за скобки: x(ax + b) = 0, откуда x = 0 или x = −b/a.

Смотрите также