Главная › Математический анализ › Первообразная и интеграл › Первообразная для f(x) = sin³ x

Первообразная для f(x) = sin³ x

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = sin³ x, удовлетворяющую условию F(π/2) = 0.

Условие

f ( x ) = sin 3 x , F ( π / 2 ) = 0

Решение

Шаг 1

Представим sin³ x как произведение sin² x · sin x. Это позволит выделить множитель sin x, который является производной от cos x (с точностью до знака).

sin 3 x = sin 2 x · sin x

Шаг 2

Заметим, что d(cos x) = −sin x dx, то есть sin x dx = −d(cos x). Это позволяет внести sin x под знак дифференциала.

d ( cos x ) = − sin x d x

Шаг 3

Перепишем исходный интеграл, выделив множитель sin² x и заменив sin x dx на −d(cos x):

∫ sin 3 x d x = ∫ sin 2 x sin x d x = − ∫ sin 2 x d ( cos x )

Шаг 4

Применим основное тригонометрическое тождество:

sin 2 x = 1 − cos 2 x

Шаг 5

Подставим это выражение в интеграл:

− ∫ ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x )

Шаг 6

Интеграл распадается на два табличных: ∫ dt = t и ∫ t² dt = t³/3. Возвращаясь к переменной x, получаем:

− cos x + cos 3 x 3 + C

Шаг 7

Найдём постоянную C из условия F(π/2) = 0. Подставим x = π/2: cos(π/2) = 0, поэтому:

− cos π 2 + cos 3 π 2 3 + C = 0

Шаг 8

Отсюда C = 0. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

F ( x ) = − cos x + cos 3 x 3

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = sin³ x?

Нужно представить sin³ x = sin² x · sin x, внести sin x под знак дифференциала (так как d(cos x) = −sin x dx, то sin x dx = −d(cos x)) и применить основное тригонометрическое тождество sin² x = 1 − cos² x. Тогда интеграл сводится к табличным относительно cos x.

Зачем нужно основное тригонометрическое тождество?

Оно позволяет перейти от sin² x к выражению через cos x: sin² x = 1 − cos² x. Это необходимо, чтобы после замены t = cos x интеграл содержал только переменную t и стал табличным.

Почему C = 0 в этой задаче?

Из условия F(π/2) = 0. При x = π/2: cos(π/2) = 0 и cos³(π/2) = 0, поэтому оба слагаемых обращаются в ноль. Значит, C = 0.

В чём особенность интегрирования нечётных степеней синуса?

Для нечётных степеней sin x (или cos x) используется приём: отделяем один множитель sin x (или cos x) и вносим его под дифференциал, а оставшуюся чётную степень выражаем через противоположную функцию с помощью основного тригонометрического тождества. Для sin x используем d(cos x) = −sin x dx, для cos x — d(sin x) = cos x dx.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.