Главная › Математический анализ › Определённый интеграл › Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2) от 0 до 1

Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2) от 0 до 1

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции на отрезке [0, 1].

Условие

∫ 0 1 2 x + 3 x2 + 3 x + 2 d x

Решение

Шаг 1

Прежде всего разложим знаменатель на множители. Квадратный трёхчлен x² + 3x + 2 имеет корни x = −1 и x = −2, поэтому:

Зачем раскладывать знаменатель на множители?

Разложение знаменателя на линейные множители — первый шаг при интегрировании рациональных дробей. Зная множители, мы можем представить дробь в виде суммы простейших дробей, каждая из которых легко интегрируется. Без разложения знаменателя метод неопределённых коэффициентов применить невозможно.

x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )

Шаг 2

Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь (степень числителя 1 меньше степени знаменателя 2). Разложим её на простейшие дроби:

Как разложить правильную дробь на простейшие?

Каждому линейному множителю (x − a) в знаменателе соответствует простейшая дробь вида A/(x − a). Если множитель повторяется k раз, ему соответствуют k дробей: A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ. В нашем случае знаменатель имеет два разных линейных множителя — (x + 1) и (x + 2), поэтому разложение имеет вид A/(x + 1) + B/(x + 2).

Как найти коэффициенты A и B?

Используется метод неопределённых коэффициентов. Приводим сумму простейших дробей к общему знаменателю и приравниваем числители. Получаем тождество A(x+2) + B(x+1) = 2x + 3. Подставляем корни знаменателя: при x = −1 получаем A = 1, при x = −2 получаем −B = −1, то есть B = 1.

2 x + 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = A x + 1 + B x + 2

Шаг 3

Приравняем числители после приведения к общему знаменателю:

A ( x + 2 ) + B ( x + 1 ) = 2 x + 3

Подставляя корни знаменателя, находим: A = 1, B = 1.

Шаг 4

Подставим разложение в интеграл:

∫ 0 1 ( 1 x+1 + 1 x+2 ) d x

Шаг 5

Интегрируем каждое слагаемое и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[ 0 1 ln | x + 1 | + ln | x + 2 |

Шаг 6

Подставляем пределы интегрирования. ln 1 = 0, поэтому остаётся ln 2 + ln 3 − ln 2 = ln 3.

Ответ

ln 3

Частые вопросы

Как вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции?

Нужно: (1) если дробь неправильная — выделить целую часть, (2) разложить знаменатель на множители, (3) разложить правильную дробь на простейшие, (4) найти коэффициенты методом неопределённых коэффициентов, (5) проинтегрировать каждое слагаемое, (6) подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница.

Что такое метод неопределённых коэффициентов?

Это метод нахождения коэффициентов A, B, C… в разложении правильной дроби на простейшие. Идея: привести сумму простейших дробей к общему знаменателю, приравнять числители, а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x. Альтернатива — подставлять в тождество конкретные значения x (например, корни знаменателя), что часто быстрее.

Почему в ответе появляются логарифмы?

Потому что после разложения на простейшие мы получаем интегралы вида ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C. Это стандартная ситуация при интегрировании дробно-рациональных функций с линейными множителями в знаменателе.

Что делать, если знаменатель имеет кратный корень?

Если линейный множитель (x − a) повторяется k раз, ему соответствует сумма k простейших дробей: A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ. Например, для (x + 1)² разложение имеет вид A/(x + 1) + B/(x + 1)². Это показано в следующей задаче.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.