Главная › Математический анализ › Определённый интеграл › Определённый интеграл cos³x·sin⁴x от 0 до π/2

Определённый интеграл cos³x·sin⁴x от 0 до π/2

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от произведения косинуса в кубе и синуса в четвёртой степени на отрезке [0, π/2].

Условие

∫ 0 π / 2 cos 3 x sin 4 x d x

Решение

Шаг 1

Заметим, что cos³x = cos²x · cos x. Это позволяет отделить один множитель cos x, который можно внести под дифференциал.

Почему отделяем именно cos x?

В подынтегральном выражении cos³x·sin⁴x присутствует нечётная степень косинуса (3) и чётная степень синуса (4). Стандартный приём: при нечётной степени одной функции и любой степени другой — отделить один множитель функции с нечётной степенью и внести его под дифференциал. В нашем случае отделяем cos x, поскольку d(sin x) = cos x dx. Оставшийся cos²x выражаем через sin²x с помощью основного тригонометрического тождества.

cos 3 x = cos 2 x · cos x

Шаг 2

Применим основное тригонометрическое тождество cos²x = 1 − sin²x и учтём, что cos x dx = d(sin x):

Зачем нужно основное тригонометрическое тождество?

После отделения одного cos x у нас остаётся cos²x · sin⁴x · cos x dx. Множитель cos x dx мы заменяем на d(sin x), но при этом cos²x всё ещё выражен через cos x. Чтобы интеграл содержал только sin x, используем тождество cos²x = 1 − sin²x. Тогда всё выражение становится функцией от sin x, и интеграл берётся как степенной.

cos 2 x = 1 − sin 2 x cos x d x = d ( sin x )

Шаг 3

Перепишем интеграл, подставив тождество и заменив cos x dx на d(sin x):

∫ 0 π / 2 ( 1 − sin 2 x ) sin 4 x d ( sin x )

Шаг 4

После замены переменной t = sin x интеграл принимает вид:

∫ 0 1 ( t 4 − t 6 ) d t

Шаг 5

Интегрируем как степенную функцию и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[ 0 1 t 5 5 − t 7 7

Шаг 6

Подставляем пределы t = 1 и t = 0. Получаем ответ.

Ответ

2 35

Частые вопросы

Как вычислить определённый интеграл cos³x·sin⁴x?

Отделяем один множитель cos x: cos³x = cos²x · cos x. Вносим cos x под дифференциал: cos x dx = d(sin x). Оставшийся cos²x заменяем на 1 − sin²x. Тогда интеграл сводится к степенному относительно sin x.

Почему отделяем именно cos x, а не sin x?

Степень косинуса нечётная (3), степень синуса чётная (4). Стандартное правило: если одна из функций имеет нечётную степень, отделяем один её множитель и вносим под дифференциал. В нашем случае cos x dx = d(sin x) — это удобно, потому что оставшийся cos²x легко выражается через sin x. Если бы степень синуса была нечётной, отделяли бы sin x.

Почему ответ — рациональное число, а не с тригонометрическими функциями?

Потому что после замены t = sin x мы получили интеграл от степенной функции tⁿ, который равен tⁿ⁺¹/(n + 1). Первообразная выражается через степени sin x, а при подстановке пределов (sin 0 = 0, sin(π/2) = 1) получается числовое значение.

Что делать, если обе степени чётные?

Если обе степени чётные, применяют формулы понижения степени: sin²x = (1 − cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2. Их применяют многократно, пока не получат слагаемые, интегрируемые напрямую. Это стандартный приём для интегралов вида ∫ sin^(2n)x cos^(2m)x dx.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.