Главная › Математический анализ › Поверхностные интегралы › Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1 в круге

Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1 в круге

В этой задаче требуется вычислить поверхностный интеграл первого рода по плоскому кругу в горизонтальной плоскости.

Условие

Вычислить поверхностный интеграл первого рода:

∬ S z d S , S : z = 1 , x 2 + y 2 ≤ 1

Решение

Шаг 1

Поверхность S — плоский круг радиуса 1 в плоскости z = 1. Проекция S на плоскость Oxy — единичный круг D: x² + y² ≤ 1.

Почему проекция — единичный круг?

Плоскость z = 1 параллельна плоскости Oxy, поэтому её проекция на Oxy сохраняет форму без искажений. Ограничение x² + y² ≤ 1 задаёт единичный круг.

Шаг 2

Вычислим элемент площади dS для плоскости z = 1. Частные производные равны нулю:

∂ z ∂ x = 0 , ∂ z ∂ y = 0 d S = 1 + 0 2 + 0 2 d x d y = d x d y

Шаг 3

На поверхности S координата z постоянна и равна 1, поэтому подынтегральная функция упрощается: f(x, y, z) = z = 1.

Почему z можно заменить на 1?

На поверхности S выполняется равенство z = 1 для всех точек. Поэтому при интегрировании по этой поверхности функцию z можно заменить постоянным значением 1. Это упрощает подынтегральное выражение.

Шаг 4

Переходим к двойному интегралу по проекции D:

∬ S z d S = ∬ D 1 d x d y

Шаг 5

Полученный двойной интеграл — это площадь области D. Поскольку D — единичный круг, его площадь равна π:

∬ D 1 d x d y = π · 1 2 = π

Ответ

π.

Геометрический смысл

Поверхностный интеграл первого рода от функции f(x, y, z) = 1 по поверхности S равен площади этой поверхности. В нашей задаче поверхность — единичный круг, площадь которого равна π. Совпадение результата с площадью круга подтверждает корректность решения.

Частые вопросы

Как вычислить поверхностный интеграл по плоскости?

Для плоской поверхности z = c (где c — константа) элемент площади dS = dx dy, так как ∂z/∂x = ∂z/∂y = 0. Далее интеграл сводится к двойному интегралу по проекции D поверхности на плоскость Oxy.

Почему в этой задаче ответ совпадает с площадью круга?

Подынтегральная функция z = 1 на всей поверхности S, а dS = dx dy. Поэтому интеграл превращается в площадь проекции D, которая совпадает с S. Единичный круг имеет площадь π, поэтому ответ π.

Как вычислить площадь круга через двойной интеграл?

Площадь области D вычисляется как ∬_D dx dy. Для единичного круга можно перейти к полярным координатам: ∬_D dx dy = ∫₀^{2π} dφ ∫₀^1 r dr = 2π · 1/2 = π. Также можно воспользоваться известной формулой площади круга S = πR².

Что изменится, если плоскость будет z = 3?

Если бы плоскость была z = 3, подынтегральная функция стала бы постоянной 3, и результат был бы 3π. В общем случае ∬_S z dS для плоскости z = c в области D равен c · площади(D).

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.