Главная › Математический анализ › Поверхностные интегралы › Поток второго рода по полусфере радиуса 1

Поток второго рода по полусфере радиуса 1

В этой задаче требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне полусферы, используя теорему Остроградского-Гаусса.

Условие

Вычислить поверхностный интеграл второго рода:

∬ S ( x 2 + y 2 ) d y d z + ( x 2 + z 2 ) d z d x + ( y 2 + z 2 ) d x d y

где S — верхняя сторона полусферы x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.

Решение

Шаг 1

Обозначим компоненты векторного поля:

P = x 2 + y 2 , Q = x 2 + z 2 , R = y 2 + z 2

Шаг 2

Вычислим дивергенцию векторного поля:

div F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = 2 x + 2 y + 2 z

Шаг 3

Поверхность S не замкнута. Замкнём её кругом D в плоскости z = 0 (x² + y² ≤ 1). Внешняя нормаль к полушару на D направлена вниз: n = (0, 0, −1). Тогда Σ = S ∪ D — замкнутая поверхность.

Почему выбираем круг в плоскости z = 0?

Полусфера x² + y² + z² = 1, z ≥ 0 имеет границу — окружность x² + y² = 1 в плоскости z = 0. Естественное замыкание — плоский круг в этой же плоскости. Вместе они образуют замкнутую поверхность, ограничивающую полушаровой объём V.

Шаг 4

Применим теорему Остроградского-Гаусса к замкнутой поверхности Σ = S ∪ D:

∬ S + ∬ D = ∭ V ( 2 x + 2 y + 2 z ) d V

Шаг 5

Вычислим тройной интеграл. В силу симметрии области V относительно плоскостей x = 0 и y = 0:

Почему ∭ z dV = π/4?

Объём полушара радиуса 1 равен (2/3)π. Центроид полушара по оси z находится на высоте 3/8 от основания (стандартный результат). Поэтому ∭_V z dV = V · z_c = (2π/3)·(3/8) = π/4.

∭ V x d V = ∭ V y d V = 0 , ∭ V z d V = π 4 ∭ V ( 2 x + 2 y + 2 z ) d V = 2 · π 4 = π 2

Шаг 6

Вычислим интеграл по кругу D. На D: z = 0, поэтому R = y² + z² = y². Внешняя нормаль направлена вниз (n = (0,0,−1)), что даёт знак минус:

∬ D = − ∬ D y 2 d x d y = − ∫ 0 2 π sin 2 φ d φ ∫ 0 1 r 3 d r = − π · 1 4 = − π 4
Почему появляется знак минус перед интегралом по D?

В формуле ∬_D P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∬_D (F, n) dσ нормаль n выбирается внешней к области V. На нижней грани (плоскости z = 0) внешняя нормаль направлена вниз, то есть n = (0, 0, −1). Поэтому скалярное произведение (F, n) = −R = −y², что и даёт знак минус.

Шаг 7

По аддитивности: ∬_S = ∭_V − ∬_D. Подставим найденные значения:

∬ S = π 2 − ( − π 4 ) = π 2 + π 4 = 3 π 4

Ответ

3π/4.

Частые вопросы

Как вычислить поток векторного поля через незамкнутую поверхность?

Если поверхность не замкнута, её замыкают дополнительной поверхностью (обычно плоской), получая замкнутую поверхность. Затем применяют теорему Остроградского-Гаусса к замкнутой поверхности, а интеграл по дополнительной части вычисляют отдельно и вычитают.

Что такое теорема Остроградского-Гаусса?

Теорема связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с тройным интегралом от дивергенции поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: ∬_Σ (F, n) dσ = ∭_V div F dV. Здесь n — внешняя нормаль к поверхности.

Как выбрать направление нормали?

Для замкнутой поверхности, ограничивающей область V, нормаль всегда берётся внешней (направленной из области V). На верхней части (полусфере) — вверх, на нижней части (круге) — вниз. Это соответствует направлению «из тела наружу».

Почему интеграл по кругу D оказался не равным нулю?

На круге D: z = 0, поэтому R = y² + z² = y². Интеграл ∬_D y² dx dy в единичном круге равен π/4 — это не нуль, так как подынтегральная функция y² нечётна только по y, но не по x. Поэтому вклад круга в поток существенен.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.