Главная › Математический анализ › Криволинейные интегралы › Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³

Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³

В этой задаче требуется вычислить криволинейный интеграл второго рода по параболе y = x³ с параметризацией через переменную t.

Условие

Вычислить криволинейный интеграл:

∫ L x d y − y d x , L : y = x 3 , O ( 0 ; 0 ) → A ( 1 ; 1 )

Решение

Шаг 1

Кривая L задана явным уравнением y = x³. Введём параметр t = x, тогда y = t³. Точке O(0;0) соответствует t = 0, точке A(1;1) — t = 1.

Почему выбираем параметр t = x?

Когда кривая задана графиком функции y = f(x), самый простой способ параметризации — взять x = t. Тогда y = f(t), а пределы параметра совпадают с пределами изменения x вдоль кривой.

x = t , y = t 3 , t ∈ [ 0 ; 1 ]

Шаг 2

Найдём дифференциалы dx и dy через параметр t:

d x = d t , d y = 3 t 2 d t

Шаг 3

Подставим в подынтегральное выражение x dy − y dx:

x d y − y d x = t · 3 t 2 d t − t 3 d t = 2 t 3 d t

Шаг 4

Перейдём к определённому интегралу по параметру t:

Почему пределы интегрирования от 0 до 1?

Пределы соответствуют значениям параметра t в начальной и конечной точках кривой: t = 0 в точке O(0;0) и t = 1 в точке A(1;1). Направление обхода сохраняется — от O к A.

∫ L x d y − y d x = ∫ 0 1 2 t 3 d t

Шаг 5

Вычислим интеграл по формуле Ньютона–Лейбница:

2 · t 4 4 | 0 1 = 1 2

Ответ

1/2.

Частые вопросы

Как вычислить криволинейный интеграл второго рода?

Криволинейный интеграл второго рода ∫_L P dx + Q dy сводится к определённому интегралу путём параметризации кривой L: x = x(t), y = y(t), t ∈ [a; b]. Тогда dx = x′(t) dt, dy = y′(t) dt, и интеграл превращается в определённый интеграл по переменной t.

Как параметризовать кривую, заданную уравнением y = f(x)?

Если кривая задана графиком y = f(x) при x от a до b, естественная параметризация: x = t, y = f(t), t ∈ [a; b]. Это позволяет свести криволинейный интеграл к обычному определённому интегралу.

Что влияет на знак криволинейного интеграла второго рода?

Знак зависит от направления обхода кривой: при изменении направления обхода интеграл меняет знак на противоположный. В нашей задаче направление задано от O(0;0) до A(1;1), поэтому пределы интегрирования идут от 0 до 1.

В чём отличие криволинейных интегралов первого и второго рода?

Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) не зависит от направления обхода кривой, а его подынтегральное выражение содержит dl. Криволинейный интеграл второго рода зависит от направления и содержит дифференциалы dx, dy (или их комбинации).

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.