Геометрия

Эта страница — часть раздела «ЕГЭ база. Геометрия». Здесь — решения типовых геометрических задач: площадь треугольника, теорема Пифагора, площадь круга, объём цилиндра. Все задачи составлены самостоятельно, с «красивыми» ответами.

Задачи с решениями

Задача 1. Площадь треугольника

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 3 и 4, а угол между ними равен 30°.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot sin 30 °

Подставим sin 30° = 1/2:

S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 3

Ответ: 3.

Задача 2. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

c = \sqrt{100} = 10

Ответ: 10.

Задача 3. Площадь круга

Найдите площадь круга радиуса 5.

Площадь круга вычисляется по формуле S = πR²:

S = π R^{2} = π \cdot 5^{2} = 25 π

Ответ: 25π.

Задача 4. Объём цилиндра

Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 2, а высота равна 5.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR²h:

V = π R^{2} h = π \cdot 2^{2} \cdot 5 = 20 π

Ответ: 20π.

Частые вопросы

Как найти площадь треугольника через две стороны и угол?

По формуле S = ½·a·b·sin γ, где a и b — стороны, γ — угол между ними. Например, S = ½·3·4·sin 30° = ½·3·4·½ = 3.

Как применять теорему Пифагора?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Зная два элемента, можно найти третий. Для катетов 6 и 8: c² = 36 + 64 = 100, c = 10.

Как найти площадь круга?

По формуле S = πR², где R — радиус. Для R = 5: S = π·25 = 25π. Ответ можно оставить с π или подставить π ≈ 3.14 — но в ЕГЭ база чаще оставляют с π.

Как найти объём цилиндра?

По формуле V = πR²h, где R — радиус основания, h — высота. Для R = 2 и h = 5: V = π·4·5 = 20π.