Главная › Математический анализ › Первообразная и интеграл › Первообразная для f(x) = x · ln(2x)

Первообразная для f(x) = x · ln(2x)

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = x · ln(2x), удовлетворяющую условию F(1) = 0.

Условие

f ( x ) = x · ln ( 2 x ) , F ( 1 ) = 0

Решение

Шаг 1

Применим метод интегрирования по частям:

∫ u d v = u v − ∫ v d u

Шаг 2

Выберем u = ln(2x) (тогда du = (1/x) dx) и dv = x dx (тогда v = x²/2):

u = ln ( 2 x ) , d u = 1 x d x d v = x d x , v = x 2 2

Шаг 3

Подставим в формулу интегрирования по частям:

∫ x · ln ( 2 x ) d x = x 2 · ln ( 2 x ) 2 − ∫ x 2 2 x d x

Шаг 4

Вычислим оставшийся интеграл и получим общее выражение для первообразной:

F ( x ) = x 2 · ln ( 2 x ) 2 − x 2 4 + C

Шаг 5

Найдём постоянную C из условия F(1) = 0. Заметим, что ln 2 — константа:

F ( 1 ) = ln 2 2 − 1 4 + C = 0

Шаг 6

Отсюда C = 1/4 − (1/2)·ln 2. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

F ( x ) = x 2 · ln ( 2 x ) 2 − x 2 4 + 1 4 − ln 2 2

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = x · ln(2x)?

Применить метод интегрирования по частям ∫ u dv = uv − ∫ v du. Выбираем u = ln(2x) (логарифм упрощается при дифференцировании) и dv = x dx (легко интегрируется до x²/2).

Чему равна производная от ln(2x)?

По правилу производной сложной функции: (ln(2x))′ = 1/(2x) · 2 = 1/x. Множитель 2 от аргумента сокращается с знаменателем 2x. Поэтому du = (1/x) dx — такая же, как и для ln x.

Почему C содержит ln 2?

Из условия F(1) = 0: F(1) = ln(2·1)/2 − 1/4 + C = ln 2/2 − 1/4 + C = 0. Отсюда C = 1/4 − ln 2/2. Величина ln 2 не сокращается, так как верхний предел равен 1, а не 1/2.

В каких случаях применяют интегрирование по частям для логарифмов?

Когда подынтегральное выражение содержит логарифм в произведении с полиномом или сам по себе. В таких случаях логарифм берут за u, а остальную часть — за dv. После дифференцирования логарифма появляется простая рациональная функция, и интеграл сводится к табличному.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.