Главная › Математический анализ › Тройные интегралы › Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару

Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару

В этой задаче требуется вычислить тройной интеграл по шару с помощью перехода к сферическим координатам.

Условие

Вычислите тройной интеграл:

∭ V ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z V : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Решение

Шаг 1

Область V — единичный шар, ограниченный сферой x² + y² + z² = 1. Для такой области удобно перейти к сферическим координатам:

Почему выбираем сферические координаты?

Область интегрирования — шар, а подынтегральная функция зависит только от r² = x² + y² + z². Сферические координаты превращают шар в прямоугольник [0; 1] × [0; π] × [0; 2π] по (r, θ, φ), а подынтегральное выражение упрощается до r². Это существенно упрощает вычисления.

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ

Шаг 2

Выпишем элемент объёма в сферических координатах и пределы интегрирования:

d x d y d z = r 2 sin θ d r d θ d φ 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π

Шаг 3

Подынтегральная функция в сферических координатах принимает простой вид:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Шаг 4

Переходим к повторному интегралу:

I = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π sin θ d θ ∫ 0 1 r 2 · r 2 d r

Шаг 5

Вычислим внутренний интеграл по r:

∫ 0 1 r 4 d r = 1 5

Шаг 6

Вычислим средний интеграл по θ:

∫ 0 π sin θ d θ = [ − cos θ ] 0 π = 2

Шаг 7

Вычислим внешний интеграл по φ:

∫ 0 2 π d φ = 2 π

Шаг 8

Перемножаем результаты:

I = 2 π · 2 · 1 5 = 4 π 5

Ответ

I = 4π/5.

Проверка через среднее значение

Объём единичного шара равен 4π/3. Среднее значение функции x² + y² + z² по шару можно найти как 3 · (1/5) · R² = 3/5 при R = 1 (в силу симметрии каждая из координат в среднем даёт R²/5). Тогда интеграл равен V · ⟨f⟩ = (4π/3) · (3/5) = 4π/5. Результат совпадает с полученным.

Частые вопросы

Как вычислить тройной интеграл по шару?

Для шара удобнее всего перейти к сферическим координатам: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Якобиан перехода равен r² sin θ, элемент объёма dx dy dz = r² sin θ dr dθ dφ. Пределы: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.

Что такое сферические координаты?

Сферические координаты — система координат, где положение точки в пространстве задаётся тремя числами: r — расстояние от начала координат, θ — угол от оси Oz, φ — угол от оси Ox в плоскости Oxy. Они особенно удобны для областей, обладающих сферической симметрией: шар, сферический слой, шаровой сектор.

В чём отличие сферических координат от цилиндрических?

В цилиндрических координатах (r, φ, z) третья координата — это высота z (декартова). В сферических координатах (r, θ, φ) r — расстояние от начала координат, θ — угол от оси Oz. Сферические координаты удобны для шаров и сфер, цилиндрические — для цилиндров и областей с осевой симметрией.

Почему якобиан перехода равен r² sin θ?

Якобиан перехода от декартовых к сферическим координатам — это определитель матрицы Якоби. После вычислений он равен r² sin θ. Этот множитель отражает растяжение пространства при переходе. Множитель r² возникает из-за радиального растяжения, sin θ — из-за угловой зависимости.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.