Главная › Решения › Производная и приложения › Уравнения касательных › Уравнения касательных к графику функции

Уравнения касательных к графику функции

Уравнение касательной — это уравнение прямой, касающейся графика функции в заданной точке. На этой странице: общий вид формулы, задачи на нахождение касательной по абсциссе x₀, по ординате y₀, а также задачи про касательные и параллельные прямые, с подробными решениями.

Уравнение касательной в точке с абсциссой x₀

Общий вид уравнения касательной:

y = f (x 0) + f' (x 0) \cdot (x - x 0)

Задача 3а: f(x) = x³ − 3x², x₀ = −1

Решение:

f (- 1) = (- 1) 3 - 3 \cdot (- 1) 2 = - 1 - 3 = - 4

f' (x) = 3 x 2 - 6 x

f' (- 1) = 3 \cdot (- 1) 2 - 6 \cdot (- 1) = 3 + 6 = 9

y = - 4 + 9 (x + 1) = 9 x + 5

Ответ: $y = 9 x + 5$

Задача 3б: f(x) = 2x² − 5x + 1, x₀ = 2

Решение:

f (2) = 2 \cdot 4 - 5 \cdot 2 + 1 = 8 - 10 + 1 = - 1

f' (x) = 4 x - 5

f' (2) = 8 - 5 = 3

y = - 1 + 3 (x - 2) = 3 x - 7

Ответ: $y = 3 x - 7$

Задача 3в: f(x) = −x² + x − 1, x₀ = −2

Решение:

f (- 2) = - 4 - 2 - 1 = - 7

f' (x) = - 2 x + 1

f' (- 2) = 4 + 1 = 5

y = - 7 + 5 (x + 2) = 5 x + 3

Ответ: $y = 5 x + 3$

Задача 3г: f(x) = 3x² − 4x − 2, x₀ = −1

Решение:

f (- 1) = 3 + 4 - 2 = 5

f' (x) = 6 x - 4

f' (- 1) = - 6 - 4 = - 10

y = 5 - 10 (x + 1) = - 10 x - 5

Ответ: $y = - 10 x - 5$

Задача 3д: f(x) = x² − x³, x₀ = −1

Решение:

f (- 1) = 1 - (- 1) = 2

f' (x) = 2 x - 3 x 2

f' (- 1) = - 2 - 3 = - 5

y = 2 - 5 (x + 1) = - 5 x - 3

Ответ: $y = - 5 x - 3$

Задача 3е: f(x) = x³ + x, x₀ = 2

Решение:

f (2) = 8 + 2 = 10

f' (x) = 3 x 2 + 1

f' (2) = 12 + 1 = 13

y = 10 + 13 (x - 2) = 13 x - 16

Ответ: $y = 13 x - 16$

Уравнение касательной в точке с ординатой y₀

Задача 4а: f(x) = 2x − x², y₀ = −3

Решение:

2 x - x 2 = - 3

x 2 - 2 x - 3 = 0

x 1 = - 1, x 2 = 3

Для x₀ = −1:

f' (x) = 2 - 2 x

f' (- 1) = 4

y = - 3 + 4 (x + 1) = 4 x + 1

Для x₀ = 3:

f' (3) = - 4

y = - 3 - 4 (x - 3) = - 4 x + 9

Ответ: $y = 4 x + 1$ или $y = - 4 x + 9$

Задача 4б: f(x) = 5x^(2/5) + 27, y₀ = 32

Решение:

5 x \frac{2}{5} + 27 = 32

x \frac{2}{5} = 1

x = 1

f' (x) = 2 x \frac{- 3}{5}

f' (1) = 2

y = 32 + 2 (x - 1) = 2 x + 30

Ответ: $y = 2 x + 30$

Задача 4в: f(x) = x² − 4x, y₀ = −3

Решение:

x 2 - 4 x = - 3

x 2 - 4 x + 3 = 0

x 1 = 1, x 2 = 3

Для x₀ = 1:

f' (x) = 2 x - 4

f' (1) = - 2

y = - 3 - 2 (x - 1) = - 2 x - 1

Для x₀ = 3:

f' (3) = 2

y = - 3 + 2 (x - 3) = 2 x - 9

Ответ: $y = - 2 x - 1$ или $y = 2 x - 9$

Задача 4г: f(x) = 11 − 3x^(4/3), y₀ = 8

Решение:

11 - 3 x \frac{4}{3} = 8

x \frac{4}{3} = 1

x = 1

f' (x) = - 4 x \frac{1}{3}

f' (1) = - 4

y = 8 - 4 (x - 1) = - 4 x + 12

Ответ: $y = - 4 x + 12$

Касательная и параллельные прямые

Задача 5а: f(x) = x² − 3x − 4, x₀ = 1

Решение:

f (1) = 1 - 3 - 4 = - 6

f' (x) = 2 x - 3

f' (1) = - 1

y = - 6 - 1 (x - 1) = - x - 5

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент k = -1:

y = - x + C, C \neq - 5

Ответ: $y = - x - 5$ , параллельная: $y = - x + 2$

Задача 5б: f(x) = x³ − 3x², x₀ = −1

Решение:

f (- 1) = - 1 - 3 = - 4

f' (x) = 3 x 2 - 6 x

f' (- 1) = 3 + 6 = 9

y = - 4 + 9 (x + 1) = 9 x + 5

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент k = 9:

y = 9 x + C, C \neq 5

Ответ: $y = 9 x + 5$ , параллельная: $y = 9 x - 2$

Задача 5в: f(x) = x² − 2x − 3, x₀ = 2

Решение:

f (2) = 4 - 4 - 3 = - 3

f' (x) = 2 x - 2

f' (2) = 2

y = - 3 + 2 (x - 2) = 2 x - 7

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент k = 2:

y = 2 x + C, C \neq - 7

Ответ: $y = 2 x - 7$ , параллельная: $y = 2 x + 1$

Задача 5г: f(x) = −x³ + x + 1, x₀ = −2

Решение:

f (- 2) = 8 + 2 + 1 = 11

f' (x) = - 3 x 2 + 1

f' (- 2) = - 12 + 1 = - 11

y = 11 - 11 (x + 2) = - 11 x - 11

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент k = -11:

y = - 11 x + C, C \neq - 11

Ответ: $y = - 11 x - 11$ , параллельная: $y = - 11 x + 5$

Уравнения касательных

Уравнения касательных к графику функции.