Главная › Математический анализ › Элементы теории поля › Дивергенция векторного поля в точке M(1;1;1)

Дивергенция векторного поля в точке M(1;1;1)

В этой задаче требуется найти дивергенцию векторного поля в заданной точке.

Условие

Найдите дивергенцию векторного поля:

a → = x 2 y i → − 2 y 3 z j → + 3 z 2 x k → , M ( 1 ; 1 ; 1 )

Решение

Шаг 1

Запишем формулу для вычисления дивергенции векторного поля ā = P ī + Q j̄ + R k̄:

div a → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Шаг 2

Выпишем компоненты векторного поля:

P = x 2 y , Q = − 2 y 3 z , R = 3 z 2 x

Шаг 3

Вычислим частные производные, входящие в формулу дивергенции:

Почему это скалярная величина?

В отличие от ротора, дивергенция — скалярная величина. Это сумма трёх частных производных, каждая из которых является скаляром. Поэтому результат — тоже скаляр, а не вектор.

∂ P ∂ x = 2 x y ∂ Q ∂ y = − 6 y 2 z ∂ R ∂ z = 6 z x

Шаг 4

Подставим найденные производные в формулу дивергенции:

div a → = 2 x y − 6 y 2 z + 6 z x

Шаг 5

Подставим координаты точки M(1; 1; 1) в выражение для дивергенции:

div a → ( M ) = 2 − 6 + 6 = 2

Ответ

div ā(M) = 2.

Частые вопросы

Как найти дивергенцию векторного поля?

Дивергенция векторного поля ā = P ī + Q j̄ + R k̄ вычисляется по формуле: div ā = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Нужно найти три частные производные и сложить их. Результат — скалярная величина.

В чём физический смысл дивергенции?

Дивергенция показывает, насколько точка является источником (при div > 0) или стоком (при div < 0) векторного поля. Если div = 0, поле называется соленоидальным — через любую замкнутую поверхность поток такого поля равен нулю.

Чем дивергенция отличается от ротора?

Дивергенция — скалярная величина (характеризует источники и стоки поля). Ротор — векторная величина (характеризует вращение поля). У одного поля обе величины могут быть одновременно ненулевыми, описывая разные свойства.

Как вычислить дивергенцию в конкретной точке?

Сначала находят общее выражение для дивергенции как скалярной функции от координат (x, y, z). Затем подставляют координаты точки M в это выражение. В нашем случае div ā(M) = 2.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.