Главная › Математический анализ › Криволинейные интегралы › Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности

Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности

В этой задаче требуется вычислить криволинейный интеграл второго рода по полному обходу единичной окружности.

Условие

Вычислить криволинейный интеграл:

∫ L x d y − y d x , L : x = cos t , y = sin t , t ∈ [ 0 ; 2 π ]

Решение

Шаг 1

Кривая L задана параметрически: x = cos t, y = sin t. При изменении параметра t от 0 до 2π точка обходит окружность радиуса 1 против часовой стрелки, возвращаясь в начальную точку.

x = cos t , y = sin t , t ∈ [ 0 ; 2 π ]

Шаг 2

Найдём дифференциалы dx и dy через параметр t:

d x = − sin t d t , d y = cos t d t

Шаг 3

Подставим в подынтегральное выражение x dy − y dx:

x d y − y d x = cos t · cos t d t − sin t · ( − sin t ) d t = cos 2 t d t + sin 2 t d t

Шаг 4

Применим основное тригонометрическое тождество:

Почему подынтегральное выражение упрощается до dt?

После подстановки параметризации получаем cos²t dt + sin²t dt. Сумма cos²t + sin²t по основному тригонометрическому тождеству равна 1. Поэтому всё подынтегральное выражение сводится к dt — это типичный результат для замкнутого обхода окружности.

cos 2 t + sin 2 t = 1 ⇒ x d y − y d x = d t

Шаг 5

Перейдём к определённому интегралу и вычислим его:

∫ L x d y − y d x = ∫ 0 2 π d t = 2 π

Ответ

2π.

Геометрический смысл

Криволинейный интеграл вида ∫_L x dy − y dx равен удвоенной площади области, ограниченной замкнутой кривой L (при обходе против часовой стрелки). Для единичной окружности площадь равна π, значит интеграл равен 2π. Это подтверждает полученный результат.

Частые вопросы

Как вычислить криволинейный интеграл по окружности?

Если окружность задана параметрически (x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0; 2π]), подставляем параметризацию в подынтегральное выражение, находим dx и dy и переходим к определённому интегралу по t. Часто подынтегральное выражение упрощается с помощью тригонометрических тождеств.

Почему при полном обходе окружности интеграл равен 2π?

При параметризации x = cos t, y = sin t подынтегральное выражение x dy − y dx сводится к dt. Интегрирование по t от 0 до 2π даёт длину интервала, равную 2π. Геометрически это удвоенная площадь единичного круга.

Что изменится, если обходить окружность по часовой стрелке?

При обходе по часовой стрелке знак интеграла меняется на противоположный. Это связано с тем, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода. Математически это выражается в смене пределов интегрирования по t на [2π; 0].

Как связаны криволинейный интеграл и площадь фигуры?

Существует формула площади через криволинейный интеграл второго рода: S = ½ ∮_L (x dy − y dx). Она справедлива для замкнутой кривой L, обходимой против часовой стрелки, и является частным случаем формулы Грина.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.