Главная › Математический анализ › Элементы теории поля › Ротор векторного поля в точке M(1;1;1)

Ротор векторного поля в точке M(1;1;1)

В этой задаче требуется найти ротор векторного поля в заданной точке.

Условие

Найдите ротор векторного поля:

a → = x 2 y i → − 2 y 3 z j → + 3 z 2 x k → , M ( 1 ; 1 ; 1 )

Решение

Шаг 1

Запишем формулу для вычисления ротора векторного поля ā = P ī + Q j̄ + R k̄:

rot a → = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i → − ( ∂ R ∂ x − ∂ P ∂ z ) j → + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k →

Шаг 2

Выпишем компоненты векторного поля:

P = x 2 y , Q = − 2 y 3 z , R = 3 z 2 x

Шаг 3

Вычислим частные производные, входящие в формулу ротора:

Почему некоторые производные равны нулю?

Производные равны нулю, когда соответствующая переменная не входит в компоненту поля. Например, ∂R/∂y = 0, потому что R = 3z²x не зависит от y. Это типично для полиномиальных полей и существенно упрощает вычисления.

∂ R ∂ y = 0 , ∂ Q ∂ z = − 2 y 3 ∂ R ∂ x = 3 z 2 , ∂ P ∂ z = 0 ∂ Q ∂ x = 0 , ∂ P ∂ y = x 2

Шаг 4

Подставим найденные производные в формулу ротора:

rot a → = ( 0 − ( − 2 y 3 ) ) i → − ( 3 z 2 − 0 ) j → + ( 0 − x 2 ) k → = 2 y 3 i → − 3 z 2 j → − x 2 k →

Шаг 5

Подставим координаты точки M(1; 1; 1) в выражение для ротора:

rot a → ( M ) = 2 i → − 3 j → − k → = ( 2 ; − 3 ; − 1 )

Ответ

rot ā(M) = (2; −3; −1).

Частые вопросы

Как найти ротор векторного поля?

Ротор векторного поля ā = P ī + Q j̄ + R k̄ вычисляется по формуле: rot ā = (∂R/∂y − ∂Q/∂z) ī − (∂R/∂x − ∂P/∂z) j̄ + (∂Q/∂x − ∂P/∂y) k̄. Нужно найти шесть частных производных и подставить их в эту формулу.

В чём геометрический смысл ротора?

Ротор (или вихрь) векторного поля характеризует вращательную составляющую поля в данной точке. Вектор ротора направлен вдоль оси вращения, а его модуль пропорционален угловой скорости вращения. Если ротор равен нулю, поле называется безвихревым (потенциальным).

Чем отличается ротор от дивергенции?

Ротор — это векторная величина, характеризующая вращение поля. Дивергенция — скалярная величина, характеризующая наличие источников (стоков) поля. У одного поля обе величины могут быть одновременно ненулевыми, но они описывают разные свойства.

Как вычислить ротор в конкретной точке?

Сначала находят общее выражение для ротора как вектор-функции от координат (x, y, z). Затем подставляют координаты точки M в это выражение. В нашем случае rot ā(M) = (2; −3; −1).

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.