Главная › Математический анализ › Определённый интеграл › Определённый интеграл 1/(x²−2x+5) от 1 до 3

Определённый интеграл 1/(x²−2x+5) от 1 до 3

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции, знаменатель которой не имеет действительных корней.

Условие

∫ 1 3 1 x2 − 2 x + 5 d x

Решение

Шаг 1

Выделим полный квадрат в знаменателе:

Зачем выделять полный квадрат?

Квадратный трёхчлен x² − 2x + 5 имеет отрицательный дискриминант: D = 4 − 20 = −16 < 0. Значит, он не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители. В таком случае единственный способ интегрирования — выделить полный квадрат и свести интеграл к табличному ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C.

x2 − 2 x + 5 = ( x − 1 ) 2 + 4 = ( x − 1 ) 2 + 2 2

Шаг 2

Сделаем замену u = x − 1. Тогда du = d(x − 1) = dx, а интеграл сводится к табличному виду:

Как перейти к табличному интегралу?

Табличный интеграл имеет вид ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C. После выделения полного квадрата наш знаменатель имеет форму u² + 2², где u = x − 1, a = 2. Поэтому делаем замену u = x − 1 и получаем табличный интеграл.

∫ 1 3 d ( x − 1 ) ( x − 1 ) 2 + 2 2

Шаг 3

Применяем табличную формулу:

1 2 [ 1 3 arctg x − 1 2

Шаг 4

Подставляем пределы интегрирования. Заметим, что arctg 1 = π/4, arctg 0 = 0:

1 2 ( arctg 1 − arctg 0 ) = 1 2 · π 4 = π 8

Ответ

π 8

Частые вопросы

Что делать, если знаменатель не имеет действительных корней?

Нужно выделить полный квадрат: x² + px + q = (x + p/2)² + (q − p²/4). Если q − p²/4 > 0, то получится сумма квадрата и положительного числа, и интеграл сводится к табличному ∫ du/(u² + a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C.

Почему появляется арктангенс?

Потому что производная арктангенса равна 1/(1 + x²). После замены u/a = t получаем интеграл вида ∫ dt/(1 + t²) = arctg t + C. Это стандартный табличный интеграл.

Как выделить полный квадрат в x²−2x+5?

Берём коэффициент при x (−2), делим на 2, получаем −1. Квадрат этого числа равен 1. Тогда x² − 2x + 5 = (x² − 2x + 1) − 1 + 5 = (x − 1)² + 4. Проверка: раскрывая (x − 1)² + 4, получаем x² − 2x + 1 + 4 = x² − 2x + 5.

Почему ответ содержит π?

Потому что arctg 1 = π/4, а arctg 0 = 0. После подстановки пределов интегрирования получаем (1/2)·(π/4 − 0) = π/8. Это типичный результат для интегралов с арктангенсом, у которых верхний предел даёт arctg 1.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.