Главная › Математический анализ › Двойные интегралы › Объём тела под параболоидом в цилиндре

Объём тела под параболоидом в цилиндре

В этой задаче требуется найти объём тела, ограниченного параболоидом и цилиндром, через двойной интеграл.

Условие

Найдите объём тела, ограниченного поверхностями:

z = x 2 + y 2 , z = 0 , x 2 + y 2 = 1

Решение

Шаг 1

Проекция тела на плоскость Oxy — единичный круг D, ограниченный цилиндром x² + y² = 1. Сверху тело ограничено параболоидом z = x² + y², снизу — плоскостью z = 0.

Почему проекция — единичный круг?

Цилиндр x² + y² = 1 вертикальный (его ось параллельна Oz), поэтому проекция тела на Oxy совпадает с его поперечным сечением — единичным кругом. Границы по z определяются как разность высот между параболоидом и плоскостью z = 0.

D : x 2 + y 2 ≤ 1

Шаг 2

Объём тела через двойной интеграл от разности высот:

V = ∬ D ( x 2 + y 2 ) d x d y

Шаг 3

Перейдём к полярным координатам: x = r cos φ, y = r sin φ, dx dy = r dr dφ:

Почему удобны полярные координаты?

Область интегрирования D — круг, а подынтегральная функция зависит только от r² = x² + y². Полярные координаты превращают круг в прямоугольник [0; 1] × [0; 2π] по (r, φ), а подынтегральное выражение упрощается до r²·r = r³, что интегрируется элементарно.

x = r cos φ , y = r sin φ , x 2 + y 2 = r 2 d x d y = r d r d φ , 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ r ≤ 1

Шаг 4

Расставим пределы в повторном интеграле:

V = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 1 r 2 · r d r = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 1 r 3 d r

Шаг 5

Вычислим внутренний интеграл по r:

∫ 0 1 r 3 d r = r 4 4 | 0 1 = 1 4

Шаг 6

Вычислим внешний интеграл по φ:

V = ∫ 0 2 π 1 4 d φ = 1 4 · 2 π = π 2

Ответ

V = π/2.

Частые вопросы

Как найти объём тела через двойной интеграл?

Если тело ограничено сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу — областью D в плоскости Oxy, то его объём равен V = ∬_D f(x, y) dx dy. Если снизу тело ограничено другой поверхностью z = g(x, y), то V = ∬_D (f − g) dx dy.

Когда удобно переходить к полярным координатам?

Полярные координаты удобны, когда область интегрирования — круг (или его часть), кольцо или сектор, а подынтегральная функция содержит x² + y². Тогда dx dy = r dr dφ, а x² + y² = r², что упрощает интеграл.

Как выбрать порядок интегрирования?

Сначала интегрируют по той переменной, пределы которой зависят от другой. В полярных координатах обычно сначала интегрируют по r (от 0 до границы области), затем по φ. В декартовых — сначала по y (от нижней границы до верхней), затем по x.

Что будет, если радиус цилиндра увеличить вдвое?

Если цилиндр имеет радиус R вместо 1, то V = ∫₀^{2π} dφ ∫₀^R r³ dr = 2π · R⁴/4 = πR⁴/2. При R = 1 получаем π/2, при R = 2 — 8π. Объём растёт как четвёртая степень радиуса.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.