Главная › Математический анализ › Поверхностные интегралы › Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности

Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности

В этой задаче требуется вычислить поверхностный интеграл первого рода по части конической поверхности, вырезанной цилиндром.

Условие

Вычислить поверхностный интеграл первого рода:

∬ S x d S , S : z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 2 x

Решение

Шаг 1

Цилиндр x² + y² = 2x задаёт границу области в плоскости Oxy. Выделим полный квадрат:

Что даёт выделение полного квадрата?

Уравнение (x−1)² + y² = 1 описывает окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0). Это важно для определения области интегрирования в плоскости Oxy: она представляет собой круг, сдвинутый относительно начала координат.

x 2 − 2 x + y 2 = 0 ⇒ ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1

Шаг 2

Поверхность задана графиком z = √(x²+y²). Элемент площади поверхности вычисляется по формуле:

Почему dS = √2 dx dy?

Для поверхности, заданной уравнением z = f(x, y), элемент площади dS = √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy. В нашем случае ∂z/∂x = x/√(x²+y²) и ∂z/∂y = y/√(x²+y²). Сумма квадратов этих производных равна 1, поэтому подкоренное выражение сводится к 2.

d S = 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y ∂ z ∂ x = x x 2 + y 2 , ∂ z ∂ y = y x 2 + y 2 d S = 2 d x d y

Шаг 3

Перейдём к полярным координатам: x = r cos φ, y = r sin φ, dx dy = r dr dφ. Уравнение цилиндра принимает вид:

r 2 = 2 r cos φ ⇒ r = 2 cos φ , φ ∈ [ − π 2 ; π 2 ]
Почему пределы по φ от −π/2 до π/2?

Из уравнения r = 2 cos φ следует, что r ≥ 0, значит cos φ ≥ 0. Это условие выполняется при φ ∈ [−π/2, π/2]. В этих пределах функция cos φ неотрицательна, и область D полностью покрывается.

Шаг 4

Подставим x = r cos φ и dS = √2 · r dr dφ в интеграл:

∬ S x d S = 2 ∫ − π / 2 π / 2 cos φ d φ ∫ 0 2 cos φ r 2 d r

Шаг 5

Вычислим внутренний интеграл по r:

∫ 0 2 cos φ r 2 d r = ( 2 cos φ ) 3 3 = 8 cos 3 φ 3

Шаг 6

После подстановки получаем интеграл по φ:

∬ S x d S = 8 2 3 ∫ − π / 2 π / 2 cos 4 φ d φ
Как вычислить интеграл от cos⁴φ?

Интеграл ∫_{−π/2}^{π/2} cos⁴φ dφ можно вычислить через формулу понижения степени: cos²φ = (1 + cos 2φ)/2. Применив её дважды и проинтегрировав, получаем стандартный результат 3π/8.

Шаг 7

Подставим значение интеграла от cos⁴φ и получим окончательный ответ:

∫ − π / 2 π / 2 cos 4 φ d φ = 3 π 8 ∬ S x d S = 8 2 3 · 3 π 8 = π 2

Ответ

π√2.

Частые вопросы

Как вычислить поверхностный интеграл первого рода?

Поверхностный интеграл первого рода ∬_S f(x, y, z) dS сводится к двойному интегралу по проекции D поверхности на координатную плоскость: dS = √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy. Затем полученный двойной интеграл вычисляется обычными методами.

Как вычислить элемент площади dS для поверхности z = f(x, y)?

Если поверхность задана явно как z = f(x, y), элемент площади равен dS = √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy. В нашем случае для конуса z = √(x²+y²) эта формула даёт dS = √2 dx dy — постоянный множитель.

Почему при переходе к полярным координатам возникает множитель r?

Множитель r — это якобиан перехода от декартовых координат к полярным: dx dy = r dr dφ. Геометрически он отражает растяжение площади при отображении. Без этого множителя интеграл был бы вычислен неверно.

В чём отличие поверхностного интеграла первого рода от второго?

Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности) не зависит от выбора стороны поверхности и содержит dS. Поверхностный интеграл второго рода (поток) зависит от выбора стороны и содержит проекции dS на координатные плоскости (dy dz, dz dx, dx dy). В нашей задаче интеграл первого рода.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.