Главная › Математический анализ › Элементы теории поля › Градиент скалярного поля в точке M(1;1;1)

Градиент скалярного поля в точке M(1;1;1)

В этой задаче требуется найти градиент скалярного поля в заданной точке.

Условие

Найдите градиент скалярного поля:

u = x 2 y − 2 y 3 z + 3 z 2 x , M ( 1 ; 1 ; 1 )

Решение

Шаг 1

Запишем формулу для вычисления градиента скалярного поля u(x, y, z):

grad u = ∂ u ∂ x i → + ∂ u ∂ y j → + ∂ u ∂ z k →

Шаг 2

Вычислим частные производные скалярного поля по каждой переменной:

Чем градиент отличается от дивергенции и ротора?

Градиент применяется к скалярному полю и даёт векторное поле. Дивергенция применяется к векторному полю и даёт скаляр. Ротор применяется к векторному полю и даёт вектор. Это три разных дифференциальных оператора первого порядка.

∂ u ∂ x = 2 x y + 3 z 2 ∂ u ∂ y = x 2 − 6 y 2 z ∂ u ∂ z = − 2 y 3 + 6 z x

Шаг 3

Собираем градиент как вектор из найденных частных производных:

grad u = ( 2 x y + 3 z 2 ) i → + ( x 2 − 6 y 2 z ) j → + ( − 2 y 3 + 6 z x ) k →

Шаг 4

Подставим координаты точки M(1; 1; 1) в каждую из частных производных:

( ∂ u ∂ x ) M = 2 + 3 = 5 ( ∂ u ∂ y ) M = 1 − 6 = − 5 ( ∂ u ∂ z ) M = − 2 + 6 = 4

Шаг 5

Запишем окончательное значение градиента в точке M:

grad u ( M ) = 5 i → − 5 j → + 4 k → = ( 5 ; − 5 ; 4 )

Ответ

grad u(M) = (5; −5; 4).

Геометрический смысл

Градиент указывает направление наискорейшего возрастания скалярного поля в данной точке, а его модуль равен максимальной скорости этого возрастания. В точке M(1;1;1) градиент направлен вдоль вектора (5; −5; 4), а его модуль равен √(25 + 25 + 16) = √66.

Частые вопросы

Как найти градиент скалярного поля?

Градиент скалярного поля u(x, y, z) вычисляется по формуле: grad u = (∂u/∂x) ī + (∂u/∂y) j̄ + (∂u/∂z) k̄. Нужно найти три частные производные и составить из них вектор. Результат — векторное поле.

В чём геометрический смысл градиента?

Градиент указывает направление наискорейшего роста скалярного поля в данной точке. Он перпендикулярен линии уровня (или поверхности уровня) поля, проходящей через эту точку. Модуль градиента равен максимальной скорости роста поля.

Чем градиент отличается от производной по направлению?

Производная по направлению — это скорость изменения поля в заданном направлении, скалярная величина. Градиент — это вектор, указывающий направление максимального роста поля. Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор направления.

Как вычислить градиент в конкретной точке?

Сначала находят общее выражение для градиента как вектор-функции координат (x, y, z). Затем подставляют координаты точки M в это выражение. В нашем случае grad u(M) = (5; −5; 4).

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.