Главная › Математический анализ › Несобственные интегралы › Несобственный интеграл dx/ln²x от 1 до 2

Несобственный интеграл dx/ln²x от 1 до 2

В этой задаче требуется исследовать на сходимость несобственный интеграл 2-го рода с особой точкой в нижнем пределе интегрирования.

Условие

∫ 1 2 d x ln 2 x

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция f(x) = 1/ln²x не определена в точке x = 1 (знаменатель обращается в нуль), но непрерывна на любом отрезке [1+ε, 2] при ε > 0. Значит, интеграл — несобственный 2-го рода с особой точкой x = 1.

Почему интеграл является несобственным 2-го рода?

Несобственный интеграл 2-го рода возникает, когда подынтегральная функция не ограничена (обращается в бесконечность) в одной из точек отрезка интегрирования. В нашем случае ln x → 0 при x → 1+, поэтому 1/ln²x → +∞. Особая точка x = 1 — левый конец отрезка.

Шаг 2

Для применения признака сравнения найдём эквивалентную функцию в окрестности особой точки. Используем правило Лопиталя для отношения ln x / (x−1).

Шаг 3

При x → 1+ и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, имеем неопределённость 0/0. Применяем правило Лопиталя:

lim x → 1 + ln x x − 1 = lim x → 1 + 1 / x 1 = 1
Зачем нужно правило Лопиталя?

Правило Лопиталя позволяет раскрыть неопределённость вида 0/0 или ∞/∞. В нашем случае предел ln x / (x−1) при x → 1+0 равен 1. Это означает, что ln x ~ (x−1) при x → 1+0 — ключевая эквивалентность для дальнейшего анализа.

Шаг 4

Из полученного равенства следует эквивалентность:

ln x ∼ ( x − 1 ) , ln 2 x ∼ ( x − 1 ) 2

Шаг 5

Значит, подынтегральная функция эквивалентна:

f ( x ) = 1 ln 2 x ∼ 1 ( x − 1 ) 2

Шаг 6

Проверим эквивалентность через предельный признак сравнения с функцией g(x) = 1/(x−1)²:

lim x → 1 + f ( x ) 1 / ( x − 1 ) 2 = ( lim x → 1 + x − 1 ln x ) 2 = 1 2 = 1

Шаг 7

Интеграл ∫₁² dx/(x−1)² расходится: это эталонный несобственный интеграл 2-го рода ∫_a^b dx/(x−a)^α при α = 2 ≥ 1. По признаку сравнения в предельной форме (lim f/g = 1, 0 < 1 < ∞) интегралы ∫ f и ∫ g сходятся или расходятся одновременно. Значит, исходный интеграл расходится.

Почему эталонный интеграл расходится?

Обобщённый эталонный интеграл 2-го рода ∫_a^b dx/(x−a)^α сходится при α < 1 и расходится при α ≥ 1. В нашем случае α = 2 ≥ 1, значит, интеграл от g(x) расходится. Доказательство: ∫_{1+ε}^{2} dx/(x−1)² = [−1/(x−1)]_{1+ε}^{2} = −1 + 1/ε → +∞ при ε → 0+.

Ответ

Расходится.

Частые вопросы

Как исследовать несобственный интеграл 2-го рода на сходимость?

Нужно найти эквивалентную функцию g(x) в окрестности особой точки. Обычно g(x) имеет вид 1/(x−a)^α (для особой точки x = a). Применяют признак сравнения в предельной форме: если lim f(x)/g(x) = c с 0 < c < ∞, интегралы сходятся или расходятся одновременно. Эталон: ∫_a^b dx/(x−a)^α сходится при α < 1 и расходится при α ≥ 1.

Как найти эквивалентную функцию для 1/ln²x при x → 1?

Используют правило Лопиталя или разложение в ряд Тейлора. По правилу Лопиталя lim ln x/(x−1) = lim (1/x)/1 = 1 при x → 1. Значит, ln x ~ (x−1), а ln²x ~ (x−1)². Тогда 1/ln²x ~ 1/(x−1)².

Что такое обобщённый эталонный интеграл 2-го рода?

Это интеграл ∫_a^b dx/(x−a)^α с особой точкой в нижнем пределе. При α < 1 он сходится, при α ≥ 1 расходится. Это ключевой инструмент для исследования сходимости интегралов 2-го рода.

В чём отличие несобственных интегралов 1-го и 2-го рода?

Интеграл 1-го рода имеет бесконечный предел интегрирования. Интеграл 2-го рода имеет особую точку внутри отрезка или на его конце, где подынтегральная функция не ограничена. Встречаются смешанные случаи: например, интеграл с бесконечным верхним пределом и особой точкой в нуле (как в следующей задаче).

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.