Главная › Математический анализ › Криволинейные интегралы › Криволинейный интеграл первого рода по винтовой линии

Криволинейный интеграл первого рода по винтовой линии

В этой задаче требуется вычислить криволинейный интеграл первого рода по половине витка винтовой линии.

Условие

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

∫ L z d l x 2 + y 2 , L : x = cos t , y = sin t , z = t , t ∈ [ 0 ; π ]

Решение

Шаг 1

Кривая L задана параметрически: x = cos t, y = sin t, z = t. При изменении параметра t от 0 до π точка описывает половину витка винтовой линии вокруг оси Oz, одновременно поднимаясь на высоту π.

x = cos t , y = sin t , z = t , t ∈ [ 0 ; π ]

Шаг 2

Найдём производные координат по параметру t:

x ′ ( t ) = − sin t , y ′ ( t ) = cos t , z ′ ( t ) = 1

Шаг 3

Вычислим элемент длины дуги dl по формуле для параметрически заданной кривой:

Почему dl = √2 dt?

Элемент длины дуги для параметрически заданной пространственной кривой равен dl = √((x′)² + (y′)² + (z′)²) dt. В нашем случае (x′)² = sin²t, (y′)² = cos²t, (z′)² = 1. Сумма sin²t + cos²t + 1 = 2 по основному тригонометрическому тождеству, поэтому dl = √2 dt — постоянная величина вдоль всей кривой.

d l = ( − sin t ) 2 + ( cos t ) 2 + 1 2 d t = 2 d t

Шаг 4

Упростим знаменатель подынтегрального выражения, используя основное тригонометрическое тождество:

x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1

Шаг 5

Подставим найденные выражения в подынтегральное выражение:

z d l x 2 + y 2 = t · 2 d t 1 = t 2 d t

Шаг 6

Перейдём к определённому интегралу по параметру t:

∫ L z d l x 2 + y 2 = 2 ∫ 0 π t d t

Шаг 7

Вычислим интеграл по формуле Ньютона–Лейбница:

2 · t 2 2 | 0 π = 2 · π 2 2 = π 2 2 2

Ответ

π²√2 / 2.

Частые вопросы

Как вычислить криволинейный интеграл первого рода?

Криволинейный интеграл первого рода ∫_L f(x, y, z) dl сводится к определённому интегралу путём параметризации кривой: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a; b]. Тогда dl = √((x′)² + (y′)² + (z′)²) dt, а интеграл принимает вид ∫_a^b f(x(t), y(t), z(t))·√((x′)² + (y′)² + (z′)²) dt.

Что такое винтовая линия и каковы её свойства?

Винтовая линия — пространственная кривая, задаваемая уравнениями x = R cos t, y = R sin t, z = ct. Она навивается на круговой цилиндр радиуса R с шагом 2πc на каждый полный оборот. В нашей задаче R = 1, c = 1, поэтому проекция кривой на плоскость Oxy — единичная окружность, а высота линейно растёт с ростом t.

В чём отличие криволинейного интеграла первого рода от второго?

Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) не зависит от направления обхода кривой и содержит dl. Криволинейный интеграл второго рода зависит от направления и содержит dx, dy, dz. В нашей задаче интеграл первого рода, поэтому ответ не изменится при изменении направления обхода.

Почему ответ содержит π² и √2?

Множитель √2 появляется из-за элемента длины дуги dl = √2 dt (сумма квадратов производных равна 2). Множитель π² возникает при интегрировании t dt от 0 до π: ∫₀^π t dt = π²/2. Совместно получаем π²√2/2.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.