Главная › Решения › ЕГЭ и ОГЭ › ЕГЭ профиль › Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Эта страница — часть раздела «Задание 1 ЕГЭ профиль. Простейшие уравнения». Здесь — решения логарифмических уравнений с «красивыми» целыми корнями. Каждая задача содержит условие, пошаговое решение с учётом ОДЗ и ответ.

Задачи с решениями

Задача 1. По определению логарифма

Решите уравнение:

log2(x+3)=4

По определению логарифма: log₂ A = 4 означает 2⁴ = A. Значит:

x+3=24⇒x+3=16⇒x=13

Проверка ОДЗ: x + 3 = 16 > 0 — корень подходит.

Ответ: x=13.

Задача 2. Логарифм с коэффициентом

Решите уравнение:

log3(2x−1)=2

По определению логарифма: log₃ A = 2 означает 3² = A. Значит:

2x−1=32⇒2x−1=9⇒2x=10⇒x=5

Проверка ОДЗ: 2x − 1 = 9 > 0 — корень подходит.

Ответ: x=5.

Задача 3. Десятичный логарифм

Решите уравнение:

lg(x2−3x)=1

lg — десятичный логарифм, то есть log₁₀. По определению: x² − 3x = 10¹ = 10. Получаем квадратное уравнение:

x2−3x=101⇒x2−3x−10=0

По теореме Виета корни:

x1=5,x2=−2

Проверяем ОДЗ: под знаком логарифма должно быть положительное число. При x = 5: 25 − 15 = 10 > 0 — подходит. При x = −2: 4 + 6 = 10 > 0 — формально тоже подходит.

Оба корня попадают в ОДЗ, но в задании 1 ЕГЭ обычно ответ один — если требуется наибольший корень, ответ 5.

Ответ: x=5.

Задача 4. Сумма логарифмов

Решите уравнение:

log2(x−1)+log2(x+1)=3

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

log2[(x−1)(x+1)]=3

По определению логарифма:

(x−1)(x+1)=23⇒x2−1=8⇒x2=9 x=3илиx=−3

Проверяем ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, то есть x > 1. Корень x = −3 не подходит (x − 1 = −4 < 0). Корень x = 3 подходит.

Ответ: x=3.

Частые вопросы

Как решать логарифмические уравнения из задания 1 ЕГЭ?

Основной приём — использовать определение логарифма: log_a b = c равносильно a^c = b (при b > 0). Если в уравнении несколько логарифмов, их сначала сворачивают в один с помощью свойств (сумма, разность, степень), затем применяют определение.

Что такое ОДЗ и зачем её проверять?

ОДЗ — область допустимых значений. Для логарифма log_a b требуется b > 0, a > 0, a ≠ 1. После решения уравнения нужно проверить, что найденные корни попадают в ОДЗ. Иначе могут появиться посторонние корни.

Почему появляются посторонние корни?

При переходе от логарифмического уравнения к алгебраическому (например, при возведении в степень или «снятии» логарифма) ОДЗ может расширяться. Поэтому проверка корней по ОДЗ обязательна.

Чем lg отличается от log и ln?

lg — десятичный логарифм (основание 10), ln — натуральный (основание e ≈ 2.718), log с указанным основанием — логарифм по этому основанию (например, log₂ — по основанию 2).

Смотрите также