使用凑微分法求原函数

本题要求使用凑微分法求原函数。

题目

求以下函数的原函数：

\int (\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{1}{3 + x} + \frac{1}{3 - x}) \cdot {(arcsin \frac{x}{2} + ln (3 + x) - ln (3 - x))}^{- 1} d x

将括号中的表达式记为 u(x)。注意到该表达式是一个复合函数，其导数可能恰好等于被积表达式的第一个括号。

为什么作此代换？

当被积表达式可以写成 u′(x)/u(x) 的形式时，凑微分法即可应用。此时 u′(x) dx = du，积分化为表格形式 ∫ du/u = ln|u| + C。本题中，分母的表达式是 u(x) 的自然候选，而分子中的括号可能正是 u′(x)。

u (x) = arcsin \frac{x}{2} + ln (3 + x) - ln (3 - x)

计算 u′(x) 的导数。使用复合函数求导法则：

u^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{1}{3 + x} + \frac{1}{3 - x}

可以看到，u′(x) 恰好等于原积分分子的括号。因此可以将 u′(x) dx 凑入微分号：

凑微分带来什么？

代换 u′(x) dx = du 将看似复杂的被积表达式 u′(x)/u(x) dx 化为表格积分 du/u。这一技巧称为「凑微分」。它是换元法的一种特殊情形，可以口算完成，无需显式写出新变量。

\int \frac{u^{'} (x)}{u (x)} d x = \int \frac{d u}{u}

du/u 的积分是表格形式：

\int \frac{d u}{u} = ln | u | + C

回到变量 x，将 u(x) 替换为原表达式：

ln | arcsin \frac{x}{2} + ln (3 + x) - ln (3 - x) | + C

ln|arcsin(x/2) + ln(3+x) − ln(3−x)| + C。

常见问题

凑微分法的本质是什么？

该方法的本质是将被积表达式的一部分表示为某个函数 u(x) 的微分：u′(x) dx = du。这样积分以 u 的形式变得更简单，常常化为表格积分。

如何确定该凑什么？

在被积表达式中寻找「函数与其导数」的一对。如果某部分看起来是另一部分的导数——这就是应用该方法的信号。本题中括号 u′(x) 正是分母中表达式 u(x) 的导数。

该方法与普通换元法有何区别？

技术上是相同的。在换元法中，我们显式地引入新变量 t = u(x)，计算 dt = u′(x) dx，并重写积分。在凑微分法中，我们口算完成：直接将 u′(x) dx 替换为 du，无需写出变量 t。结果相同。

为什么答案中会出现绝对值？

因为 ∫ du/u = ln|u| + C。绝对值是必需的，因为对数只对正的自变量有定义。本题中，u(x) 在定义域的某些部分可能为负，因此答案必须带绝对值。