Главная › Математический анализ › Первообразная и интеграл › Первообразная для f(x) = x · e²ˣ

Первообразная для f(x) = x · e²ˣ

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = x · e²ˣ, удовлетворяющую условию F(0) = 0.

Условие

f ( x ) = x · e 2 x , F ( 0 ) = 0

Решение

Шаг 1

Применим метод интегрирования по частям:

∫ u d v = u v − ∫ v d u

Шаг 2

Выберем u = x (тогда du = dx) и dv = e²ˣ dx (тогда v = e²ˣ/2):

u = x , d u = d x d v = e 2 x d x , v = 1 2 e 2 x

Шаг 3

Подставим в формулу интегрирования по частям:

∫ x e 2 x d x = x e 2 x 2 − ∫ e 2 x 2 d x

Шаг 4

Вычислим оставшийся интеграл и получим общее выражение для первообразной:

F ( x ) = x e 2 x 2 − e 2 x 4 + C

Шаг 5

Найдём постоянную C из условия F(0) = 0. Подставим x = 0: e⁰ = 1, поэтому:

F ( 0 ) = 0 − 1 4 + C = 0

Шаг 6

Отсюда C = 1/4. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

F ( x ) = x e 2 x 2 − e 2 x 4 + 1 4

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = x · e²ˣ?

Применить метод интегрирования по частям ∫ u dv = uv − ∫ v du. Выбираем u = x (полином понижается при дифференцировании) и dv = e²ˣ dx (легко интегрируется до e²ˣ/2).

Почему в этой задаче выбирают u = x?

При интегрировании по частям обычно берут u = полином (в данном случае x) и dv = экспонента. После дифференцирования x превращается в 1, и оставшийся интеграл становится табличным: ∫ e²ˣ dx.

Почему v = e²ˣ/2, а не e²ˣ?

Потому что при интегрировании ∫ e²ˣ dx получается e²ˣ/2. Проверка: производная от e²ˣ/2 равна e²ˣ · 2/2 = e²ˣ. Множитель 1/2 появляется из-за коэффициента при x в показателе.

В каких случаях применяют интегрирование по частям?

Когда подынтегральное выражение представляет собой произведение разных типов функций: полином × экспонента, полином × тригонометрическая, экспонента × тригонометрическая, логарифм, обратная тригонометрическая. Классический признак — интеграл не берётся напрямую, но упрощается после применения формулы ∫ u dv = uv − ∫ v du.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.