Главная › Математический анализ › Определённый интеграл › Определённый интеграл x/(1+√(x+1)) от −1 до 3

Определённый интеграл x/(1+√(x+1)) от −1 до 3

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от иррациональной функции на отрезке [−1, 3].

Условие

∫ − 1 3 x 1 + x + 1 d x

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция содержит квадратный корень. Применим замену переменной t = √(x+1). Тогда t² = x + 1, откуда x = t² − 1 и dx = 2t dt:

Почему выбрана замена t = √(x+1)?

Если подынтегральная функция содержит √(ax+b), то стандартная замена t = √(ax+b) устраняет иррациональность. После возведения в квадрат мы получаем t² = ax+b, откуда x выражается через t как рациональная функция, а dx = (2t/a) dt также не содержит корней. В результате интеграл превращается в интеграл от рациональной функции, который берётся стандартными методами.

t = x + 1 , t 2 = x + 1 , x = t 2 − 1 , d x = 2 t d t

Шаг 2

Найдём новые пределы интегрирования:

Как пересчитать пределы интегрирования?

При замене переменной пределы интегрирования пересчитываются. Подставляем старые пределы в выражение t = √(x+1): при x = −1 получаем t = √0 = 0; при x = 3 получаем t = √4 = 2. Итак, старый отрезок [−1, 3] переходит в новый отрезок [0, 2].

x = − 1 ⇒ t = 0 , x = 3 ⇒ t = 2

Шаг 3

Подставим замену в интеграл:

∫ 0 2 t 2 − 1 1 + t · 2 t d t

Шаг 4

Вынесем множитель 2 и приведём подынтегральную функцию к виду:

Как упростить подынтегральную функцию?

Подынтегральная функция имеет вид t(t²−1)/(t+1). Числитель t(t²−1) можно разложить на множители: t(t−1)(t+1). Тогда дробь принимает вид t(t−1)(t+1)/(t+1), и множитель (t+1) сокращается. В результате получаем простую функцию t(t−1) = t² − t, которую легко проинтегрировать почленно.

2 ∫ 0 2 t ( t 2 − 1 ) t + 1 d t

Шаг 5

Разложим числитель на множители и сократим:

t ( t 2 − 1 ) t + 1 = t ( t − 1 ) ( t + 1 ) t + 1 = t ( t − 1 ) = t 2 − t

Шаг 6

Интегрируем почленно: ∫ t² dt = t³/3, ∫ t dt = t²/2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

2 ∫ 0 2 ( t 2 − t ) d t = 2 [ 0 2 t 3 3 − t 2 2

Шаг 7

Подставляем пределы t = 2 и t = 0. После упрощения получаем ответ.

Ответ

4 3

Частые вопросы

Как вычислить интеграл с квадратным корнем в знаменателе?

Если подынтегральная функция содержит √(ax+b), применяют замену t = √(ax+b). Тогда t² = ax+b, x = (t²−b)/a, dx = (2t/a) dt. Это устраняет корень и превращает интеграл в рациональную функцию, которую затем интегрируют.

Как найти новые пределы интегрирования?

Нужно подставить старые пределы по x в выражение t = √(x+1). Для нижнего предела x = −1: t = √0 = 0. Для верхнего предела x = 3: t = √4 = 2. Получаем новые пределы [0, 2].

Почему множитель (t+1) сокращается?

Числитель t(t²−1) = t(t−1)(t+1) содержит множитель (t+1), который совпадает со знаменателем. После сокращения остаётся t(t−1) = t² − t. Сокращение возможно, потому что на отрезке [0, 2] знаменатель t+1 ≠ 0 (он равен нулю только при t = −1, что вне отрезка интегрирования).

Что делать с иррациональностью вида √(ax²+bx+c)?

Если корень имеет вид √(ax²+bx+c), используют тригонометрические или гиперболические подстановки. Например, для √(a²−x²) — замена x = a sin t, для √(a²+x²) — x = a tg t, для √(x²−a²) — x = a/cos t. В нашем случае корень линейный (√(x+1)), поэтому достаточно рациональной замены t = √(x+1).

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.