Главная › Математический анализ › Двойные интегралы › Площадь области между параболами y = x² и y = 2x − x²

Площадь области между параболами y = x² и y = 2x − x²

В этой задаче требуется найти площадь плоской области, ограниченной двумя параболами, через двойной интеграл.

Условие

Вычислить площадь области D, ограниченной кривыми:

y = x 2 , y = 2 x − x 2

Решение

Шаг 1

Найдём точки пересечения парабол, приравняв их уравнения:

Почему нужно найти точки пересечения?

Точки пересечения определяют пределы интегрирования по x. Без них невозможно правильно расставить границы области D.

x 2 = 2 x − x 2 ⇒ 2 x 2 − 2 x = 0 ⇒ 2 x ( x − 1 ) = 0 x 1 = 0 , x 2 = 1

Шаг 2

Найдём соответствующие значения y, подставив x в любое из уравнений:

O ( 0 ; 0 ) , A ( 1 ; 1 )

Шаг 3

Определяем область D. На отрезке [0; 1] парабола y = 2x − x² лежит выше параболы y = x², поэтому область задаётся неравенствами:

D : 0 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ 2 x − x 2
Почему y = 2x − x² лежит выше?

Вершина параболы y = 2x − x² = 1 − (x−1)² находится в точке (1; 1), ветви направлены вниз. Вершина параболы y = x² — в точке (0; 0), ветви направлены вверх. В промежутке между точками пересечения первая лежит выше второй — это легко проверить подстановкой x = 0,5.

Шаг 4

Площадь области через двойной интеграл:

S = ∬ D d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ x 2 2 x − x 2 d y

Шаг 5

Вычисляем внутренний интеграл по y:

∫ x 2 2 x − x 2 d y = ( 2 x − x 2 ) − x 2 = 2 x − 2 x 2

Шаг 6

После подстановки пределов получаем определённый интеграл по x и вычисляем его по формуле Ньютона–Лейбница:

S = ∫ 0 1 ( 2 x − 2 x 2 ) d x = [ x 2 − 2 x 3 3 ] 0 1 = 1 − 2 3 = 1 3

Ответ

S = 1/3.

Частые вопросы

Как найти площадь области через двойной интеграл?

Площадь области D вычисляется по формуле S = ∬_D dx dy. Для вычисления двойной интеграл сводят к повторному, расставляя пределы по границам области: сначала по y (от нижней границы до верхней), затем по x.

Как определить порядок обхода области?

Сначала находят точки пересечения граничных кривых — они задают пределы по x. Затем для каждого x определяют, какая кривая лежит ниже, а какая выше — это пределы по y. В нашем случае 0 ≤ x ≤ 1 и x² ≤ y ≤ 2x − x².

Что делать, если область ограничена более чем двумя кривыми?

В таком случае область разбивают на несколько частей, каждую из которых ограничивают ровно две кривые (сверху и снизу). Затем вычисляют площадь каждой части и суммируют результаты.

Можно ли вычислить эту площадь без двойного интеграла?

Да, площадь между двумя кривыми на отрезке [a; b] можно найти по формуле S = ∫_a^b (y_верх(x) − y_низ(x)) dx. Это фактически свёрнутый повторный интеграл. Но метод двойного интеграла универсальнее и работает для более сложных областей.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.