Главная › Математический анализ › Первообразная и интеграл › Первообразная для f(x) = arccos 3x

Первообразная для f(x) = arccos 3x

В этой задаче требуется найти первообразную F(x) для функции f(x) = arccos 3x, удовлетворяющую условию F(0) = 0.

Условие

$f (x) = arccos 3 x, F (0) = 0$

Решение

Шаг 1

Подынтегральное выражение arccos 3x представляет собой обратную тригонометрическую функцию. Такие интегралы берутся методом интегрирования по частям.

\int u d v = u v - \int v d u

Шаг 2

Разобьём подынтегральное выражение arccos 3x dx на две части: u = arccos 3x и dv = dx. Тогда du = −3/√(1−9x²) dx, а v = x.

u = arccos 3 x, d u = - \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x

d v = d x, v = x

Шаг 3

Подставим в формулу интегрирования по частям. Знак минус в du даёт плюс перед оставшимся интегралом:

\int arccos 3 x d x = x \cdot arccos 3 x + \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x

Шаг 4

Для вычисления оставшегося интеграла внесём множитель 3x под знак дифференциала. Заметим, что d(1−9x²) = −18x dx, поэтому 3x dx = −(1/6) d(1−9x²). Тогда интеграл сводится к табличному:

\int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = - \frac{1}{6} \int \frac{d (1 - 9 x^{2})}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} = - \frac{1}{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}}

Шаг 5

Таким образом, общее выражение для первообразной:

F (x) = x \cdot arccos 3 x - \frac{1}{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}} + C

Шаг 6

Найдём постоянную C из условия F(0) = 0. При x = 0: arccos 0 = π/2, но x·arccos 3x = 0, а √(1−0) = 1, поэтому:

F (0) = 0 - \frac{1}{3} \sqrt{1} + C = 0

Шаг 7

Отсюда C = 1/3. Искомая первообразная имеет вид:

Ответ

$F (x) = x \cdot arccos 3 x - \frac{1}{3} \sqrt{1 - 9 x^{2}} + \frac{1}{3}$

Частые вопросы

Как найти первообразную для f(x) = arccos 3x?

Применить метод интегрирования по частям ∫ u dv = uv − ∫ v du. Выбираем u = arccos 3x (обратная тригонометрическая функция, упрощается при дифференцировании) и dv = dx (то есть v = x).

Почему du = −3/√(1−9x²) dx?

По формуле производной сложной функции: (arccos u)′ = −u′/√(1−u²). Здесь u = 3x, поэтому u′ = 3, а (3x)² = 9x². Итого: du = −3/√(1−9x²) dx.

Как вычислить интеграл ∫ 3x/√(1−9x²) dx?

Заметим, что d(1−9x²) = −18x dx, значит 3x dx = −(1/6) d(1−9x²). Тогда интеграл принимает вид −(1/6) ∫ dt/√t, где t = 1−9x². Табличный интеграл ∫ dt/√t = 2√t. Итого получаем −(1/3)·√(1−9x²).

Почему C = 1/3 в этой задаче?

Из условия F(0) = 0. При x = 0: 0·arccos 0 = 0, √(1−0) = 1, поэтому F(0) = 0 − 1/3 + C = 0, откуда C = 1/3.

Смотрите также

Первообразная и интеграл
Определённый интеграл
Несобственные интегралы
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Элементы теории поля
Занесение под знак дифференциала
Уравнения касательных
ЕГЭ профиль
ЕГЭ база
ОГЭ

Занесение под знак дифференциала.

Уравнения касательных к графику функции.