Главная › Математический анализ › Определённый интеграл › Определённый интеграл x/(x+1)² от 0 до 1

Определённый интеграл x/(x+1)² от 0 до 1

В этой задаче требуется вычислить определённый интеграл от дробно-рациональной функции с кратным корнем знаменателя.

Условие

∫ 0 1 x ( x + 1 ) 2 d x

Решение

Шаг 1

Знаменатель представляет собой полный квадрат:

Почему знаменатель имеет кратный корень?

Дискриминант квадратного трёхчлена x² + 2x + 1 равен нулю: D = 4 − 4 = 0. Это значит, что трёхчлен имеет единственный (двукратный) корень x = −1, и знаменатель раскладывается как (x + 1)². В таком случае говорят о кратном корне, и разложение на простейшие имеет свои особенности.

( x + 1 ) 2

Шаг 2

Так как знаменатель имеет кратный корень, разложение на простейшие имеет вид:

Как разложить на простейшие при кратном корне?

Если линейный множитель (x − a) повторяется k раз, ему соответствует сумма k простейших дробей с этим знаменателем в разных степенях: A₁/(x − a) + A₂/(x − a)² + … + Aₖ/(x − a)ᵏ. В нашем случае знаменатель имеет вид (x + 1)², поэтому разложение: A/(x + 1) + B/(x + 1)².

x ( x + 1 ) 2 = A x + 1 + B ( x + 1 ) 2

Шаг 3

Приведём к общему знаменателю и приравняем числители:

A ( x + 1 ) + B = x

Отсюда получаем A = 1, B = −1.

Шаг 4

Подставим разложение в интеграл:

∫ 0 1 ( 1 x+1 − 1 (x+1) 2 ) d x

Шаг 5

Интегрируем: ∫ 1/(x+1) dx = ln|x+1|, ∫ 1/(x+1)² dx = −1/(x+1). Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

[ 0 1 ln | x + 1 | + 1 x + 1

Шаг 6

Подставляем пределы интегрирования. ln 1 = 0, поэтому остаётся ln 2 + 1/2 − 1 = ln 2 − 1/2.

Ответ

ln 2 − 1 2

Частые вопросы

Что такое кратный корень знаменателя?

Это когда квадратный трёхчлен (или его множитель) имеет дискриминант, равный нулю, и его можно записать как (x − a)². В этом случае корень x = a называется двукратным (или корнем кратности 2). При разложении на простейшие кратный корень требует не одной, а нескольких дробей с возрастающими степенями.

Почему в разложении появляется два слагаемых?

Потому что знаменатель (x + 1)² — кратный корень. Каждый множитель в знаменателе даёт простейшую дробь, и если множитель повторяется k раз, ему соответствует k простейших дробей со знаменателями (x + 1), (x + 1)², …, (x + 1)ᵏ. В нашем случае k = 2.

Как найти коэффициенты A и B?

Методом неопределённых коэффициентов. Приравниваем числители после приведения к общему знаменателю: A(x + 1) + B = x. Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены: A = 1, A + B = 0, откуда A = 1, B = −1. Либо подставляем x = −1 (корень знаменателя) — получаем B = −1, затем x = 0 — получаем A + B = 0, A = 1.

Почему интеграл от 1/(x+1)² не содержит логарифма?

Потому что ∫ (x + 1)⁻² dx = −(x + 1)⁻¹ = −1/(x + 1). Степень x + 1 не равна −1, поэтому формула ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹/(n + 1) даёт рациональный результат без логарифма. Логарифм появляется только при n = −1.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.