Главная › Математический анализ › Несобственные интегралы › Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5) от 1 до ∞

Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5) от 1 до ∞

В этой задаче требуется исследовать на сходимость несобственный интеграл 1-го рода с рациональной подынтегральной функцией.

Условие

∫ 1 + ∞ x + x 2 x 2 + x 3 + 5 d x

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция f(x) = (√x+x²)/(x²+x³+5) непрерывна на [1, +∞): числитель положителен, а знаменатель не обращается в нуль, так как все его коэффициенты положительны. Значит, интеграл — несобственный 1-го рода. Применим признак сравнения в предельной форме.

Почему знаменатель не обращается в нуль?

Многочлен x² + x³ + 5 при x ≥ 1 принимает только положительные значения: все его коэффициенты положительны, и каждый член положителен. Значит, на [1, +∞) знаменатель нигде не равен нулю, и подынтегральная функция непрерывна.

Шаг 2

Найдём функцию g(x), эквивалентную f(x) при x → +∞. Для этого рассмотрим поведение числителя и знаменателя при больших x.

Шаг 3

При x → +∞: числитель √x + x² ведёт себя как x² (старшая степень), знаменатель x² + x³ + 5 — как x³. Поэтому:

x + x 2 ∼ x 2 , x 2 + x 3 + 5 ∼ x 3

Шаг 4

Отношение старших членов даёт эквивалентную функцию:

f ( x ) ∼ x 2 x 3 = 1 x

Шаг 5

Проверим эквивалентность через предельный признак сравнения:

lim x → + ∞ f ( x ) 1 / x = lim x → + ∞ ( x + x 2 ) · x x 2 + x 3 + 5
Как выбрать g(x)?

Эквивалентность определяется главными членами числителя и знаменателя при x → +∞. Старший член числителя — x², старший член знаменателя — x³. Их отношение x²/x³ = 1/x и есть функция сравнения.

Шаг 6

Разделим числитель и знаменатель дроби на x³ и перейдём к пределу:

lim x → + ∞ 1 x 3 / 2 + 1 1 + 1 x + 5 x 3 = 1

Шаг 7

Гармонический интеграл ∫₁⁺∞ dx/x расходится (эталон при α = 1). По признаку сравнения в предельной форме, если lim f(x)/g(x) = c, где 0 < c < ∞, то интегралы ∫ f и ∫ g сходятся или расходятся одновременно. Значит, исходный интеграл расходится.

Почему гармонический интеграл расходится?

Гармонический интеграл ∫₁⁺∞ dx/x расходится, хотя подынтегральная функция стремится к нулю. Доказательство: ∫₁ᴺ dx/x = ln N → +∞ при N → +∞. Это эталонный расходящийся несобственный интеграл 1-го рода.

Ответ

Расходится.

Частые вопросы

Как определить сходимость несобственного интеграла от рациональной функции?

Сравнивают степени числителя и знаменателя. Если степень числителя меньше степени знаменателя как минимум на 2, интеграл сходится. Если разность степеней равна 1, интеграл ведёт себя как гармонический ∫ dx/x и расходится. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, интеграл расходится.

Что такое гармонический интеграл?

Гармонический интеграл — это ∫₁⁺∞ dx/x. Он расходится, хотя подынтегральная функция стремится к нулю. Это эталонный расходящийся несобственный интеграл 1-го рода.

Что делать, если подынтегральная функция — дробь с корнями?

При наличии корней нужно учитывать их асимптотику при x → +∞. Например, √x = x1/2, что меньше любой положительной степени x. В нашем случае √x не влияет на главный член числителя (x² доминирует).

В чём отличие признака сравнения в предельной форме от признака сравнения в форме неравенств?

В форме неравенств нужно доказать, что f(x) ≤ C·g(x) для всех достаточно больших x. В предельной форме достаточно вычислить lim f(x)/g(x) = c, где 0 < c < ∞. Предельная форма удобнее и применима при более сложной структуре подынтегральной функции.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.