Главная › Математический анализ › Тройные интегралы › Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz

Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz

В этой задаче требуется найти массу тела с переменной плотностью через тройной интеграл.

Условие

Найдите массу тела, ограниченного плоскостями:

x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 ρ ( x , y , z ) = 24 x y z

Решение

Шаг 1

Тело V — тетраэдр в первом октанте с вершинами O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Он ограничен координатными плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и плоскостью x + y + z = 1.

Почему тело — именно тетраэдр?

Плоскость x + y + z = 1 пересекает координатные оси в точках (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1). Вместе с началом координат (0;0;0) эти четыре точки образуют вершины тетраэдра. Все координаты неотрицательны, поэтому тело расположено в первом октанте.

Шаг 2

Расставим пределы интегрирования. Сначала определяем диапазон по x, затем по y (зависит от x), затем по z (зависит от x и y):

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 − x , 0 ≤ z ≤ 1 − x − y

Шаг 3

Масса тела с переменной плотностью вычисляется через тройной интеграл:

m = ∭ V ρ d V = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x d y ∫ 0 1 − x − y 24 x y z d z

Шаг 4

Вычислим внутренний интеграл по z (плотность 24xy выносится за знак интеграла как константа относительно z):

∫ 0 1 − x − y 24 x y z d z = 24 x y · ( 1 − x − y ) 2 2 = 12 x y ( 1 − x − y ) 2

Шаг 5

Вычислим средний интеграл по y. Удобно сделать замену u = 1 − x − y:

Как выполняется замена u = 1 − x − y?

При подстановке u = 1 − x − y получаем y = 1 − x − u и dy = −du. Пределы: при y = 0 имеем u = 1 − x, при y = 1 − x имеем u = 0. Смена пределов вместе с минусом даёт интеграл от 0 до 1 − x по u. Такая замена упрощает степень: остаётся u² вместо (1 − x − y)².

∫ 0 1 − x 12 x y ( 1 − x − y ) 2 d y = x ( 1 − x ) 4

Шаг 6

После подстановки получаем внешний интеграл по x:

m = ∫ 0 1 x ( 1 − x ) 4 d x

Шаг 7

Вычислим этот интеграл с помощью замены t = 1 − x:

Почему удобна замена t = 1 − x?

Замена t = 1 − x превращает произведение x(1 − x)⁴ в (1 − t)t⁴ — многочлен, который легко интегрируется почленно. Пределы при этом меняются местами (от 1 до 0), что компенсируется знаком минус от dt.

m = ∫ 0 1 ( 1 − t ) t 4 d t = ∫ 0 1 ( t 4 − t 5 ) d t = 1 5 − 1 6 = 1 30

Ответ

m = 1/30.

Частые вопросы

Как найти массу тела через тройной интеграл?

Масса вычисляется по формуле m = ∭_V ρ(x, y, z) dV, где V — объём тела, ρ — плотность. Тройной интеграл сводят к повторному, расставляя пределы по границам тела: сначала по z (от нижней границы до верхней), затем по y (зависит от x), затем по x.

Почему пределы по y и z зависят от других переменных?

Тело ограничено наклонной плоскостью x + y + z = 1. При фиксированном x значение y ограничено снизу нулём, а сверху — линией 1 − x. Аналогично z ограничен плоскостями z = 0 и z = 1 − x − y. Это типично для областей с наклонными границами.

Можно ли было выбрать другой порядок интегрирования?

Да, можно было интегрировать в другом порядке, например по x, затем z, затем y. Результат был бы тем же, но вычисления могли быть иными по сложности. В нашем случае порядок z → y → x естественно соответствует границам тела.

Как проверить правильность ответа?

Один из способов — оценить средний порядок величины. Объём тетраэдра V = 1/6. Средняя плотность 24xyz на тетраэдре — примерно 24 · (1/4)³ = 24/64 = 3/8. Тогда масса ≈ V · ρ̄ = (1/6)·(3/8) = 1/16. Наш ответ 1/30 меньше, что согласуется: плотность максимальна вблизи точки (1;1;1), но в тетраэдре эта точка на границе, где плотность не накапливается.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.