Главная › Математический анализ › Несобственные интегралы › Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4) от 0 до ∞

Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4) от 0 до ∞

В этой задаче требуется исследовать на сходимость несобственный интеграл смешанного типа: с потенциальной особой точкой в нуле и бесконечным верхним пределом.

Условие

∫ 0 + ∞ arctg x 2 x + 1 x 2 + 4 d x

Решение

Шаг 1

Подынтегральная функция f(x) = arctg(x²/(x+1))/(x²+4) может иметь особенность в точке x = 0 (где подынтегральное выражение формально определено, но требует проверки) и имеет бесконечный верхний предел. Разобьём интеграл точкой x = 1 на два:

Почему выбрана точка разбиения x = 1?

Точка x = 1 — удобная граница: на отрезке [0, 1] функция ограничена и особенностей нет (проверим это отдельно), а на [1, +∞) можно применить оценку сверху для исследования сходимости. Такое разбиение позволяет независимо разобраться с каждой частью.

∫ 0 + ∞ arctg x 2 x + 1 x 2 + 4 d x = ∫ 0 1 arctg x 2 x + 1 x 2 + 4 d x + ∫ 1 + ∞ arctg x 2 x + 1 x 2 + 4 d x

Шаг 2

Рассмотрим поведение f(x) при x → 0+. Аргумент арктангенса x²/(x+1) → 0, значит arctg(x²/(x+1)) ~ x²/(x+1) → 0. Знаменатель x²+4 → 4. Следовательно, f(x) → 0/4 = 0. Разрыв в точке x = 0 устранимый, интеграл на [0, 1] является собственным (Римана), а не несобственным.

Почему разрыв в нуле устранимый?

Предел функции при x → 0+ конечен (равен 0). Значит, функцию можно доопределить в точке x = 0 значением 0, и она станет непрерывной на всём [0, 1]. Поэтому интеграл на [0, 1] сходится как обычный интеграл Римана.

Шаг 3

Теперь исследуем поведение f(x) при x → +∞. Аргумент арктангенса x²/(x+1) → +∞, поэтому arctg(x²/(x+1)) → π/2. Функция arctg ограничена: для любого t > 0 выполнено 0 < arctg t < π/2. Значит, и числитель ограничен.

Шаг 4

Получаем оценку сверху при x ≥ 1:

0 ≤ f ( x ) ≤ π / 2 x 2 , x ≥ 1

Шаг 5

Рассмотрим эталонный интеграл:

∫ 1 + ∞ d x x 2
Почему эталонный интеграл сходится?

Интеграл ∫₁⁺∞ dx/xᵅ сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Здесь α = 2 > 1, значит интеграл от g(x) = 1/x² сходится.

Шаг 6

По признаку сравнения в форме оценки сверху: интеграл на [1, +∞) сходится. Интеграл на [0, 1] — собственный. По аддитивности исходный интеграл сходится.

Ответ

Сходится.

Альтернативный путь: через предельное сравнение

Ту же задачу можно решить с помощью признака сравнения в предельной форме. Рассмотрим предел отношения f(x) к g(x) = 1/x² на бесконечности:

lim x → + ∞ f ( x ) 1 / x 2 = lim x → + ∞ x 2 · arctg x 2 x + 1 x 2 + 4 = π 2

Предел конечен и не равен нулю (равен π/2). Значит, интегралы ∫₁⁺∞ f(x) dx и ∫₁⁺∞ dx/x² сходятся или расходятся одновременно. Второй интеграл сходится (α = 2 > 1), поэтому исходный интеграл тоже сходится.

Частые вопросы

Как исследовать несобственный интеграл смешанного типа?

Такой интеграл разбивают на части: у особой точки (если она есть внутри или на конце) и на бесконечности — отдельно. Каждую часть исследуют своим методом: у особой точки — через эквивалентность и эталон 2-го рода, на бесконечности — через оценку сверху или предельное сравнение с эталоном 1-го рода.

Почему арктангенс ограничен и как это использовать?

Функция arctg t для всех t > 0 принимает значения в интервале (0, π/2). Это позволяет заменить числитель на π/2 при оценке сверху: 0 ≤ arctg(x²/(x+1)) ≤ π/2. Такая замена не меняет сходимости, так как π/2 — конечная константа.

Что такое устранимый разрыв и почему это важно?

Разрыв называется устранимым, если предел функции в точке существует и конечен, но сама функция в этой точке либо не определена, либо имеет другое значение. Для интеграла это означает, что на отрезке около этой точки интеграл является собственным (Римана), а не несобственным. В нашем случае f(x) → 0 при x → 0+, поэтому разрыв устранимый.

Какой способ решения предпочтительнее — оценка сверху или предельное сравнение?

Оба способа дают один и тот же результат. Оценка сверху проще, когда функция ограничена и легко мажорируется эталоном. Предельное сравнение удобнее, когда нужно точно определить поведение функции на бесконечности (эквивалентность). В этой задаче оба способа работают одинаково хорошо.

Смотрите также

  • Первообразная и интеграл
  • Определённый интеграл
  • Несобственные интегралы
  • Двойные интегралы
  • Тройные интегралы
  • Криволинейные интегралы
  • Поверхностные интегралы
  • Элементы теории поля
  • Занесение под знак дифференциала
  • Уравнения касательных
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база
  • ОГЭ
  1. Первообразная для f(x) = x² cos x³.
  2. Первообразная для f(x) = sin³ x.
  3. Первообразная для f(x) = x · e²ˣ.
  4. Первообразная для f(x) = x · ln 2x.
  5. Первообразная для f(x) = x · cos 3x.
  6. Первообразная для f(x) = arccos 3x.
  1. Определённый интеграл (2x+3)/(x²+3x+2).
  2. Определённый интеграл x/(x+1)².
  3. Определённый интеграл 1/(x²−2x+5).
  4. Определённый интеграл ctg³x.
  5. Определённый интеграл cos³x·sin⁴x.
  6. Определённый интеграл x/(1+√(x+1)).
  1. Несобственный интеграл arccos(1/x)/(x√x).
  2. Несобственный интеграл (√x+x²)/(x²+x³+5).
  3. Несобственный интеграл dx/ln²x.
  4. Несобственный интеграл arctg(x²/(x+1))/(x²+4).
  1. Масса плоской фигуры между y = 8 − x² и y = x + 2.
  2. Площадь области между параболами.
  3. Объём тела под параболоидом в цилиндре.
  1. Тройной интеграл (x²+y²) в цилиндре x²+y² = −2x.
  2. Масса тетраэдра с плотностью ρ = 24xyz.
  3. Тройной интеграл (x²+y²+z²) по шару.
  1. Криволинейный интеграл x dy − y dx по параболе y = x³.
  2. Криволинейный интеграл x dy − y dx по окружности.
  3. Криволинейный интеграл z dl / √(x²+y²) по винтовой линии.
  1. Поверхностный интеграл x dS по конической поверхности.
  2. Поверхностный интеграл z dS по плоскости z = 1.
  3. Поток второго рода по полусфере радиуса 1.
  4. Поток второго рода по параболоиду.
  1. Ротор векторного поля.
  2. Дивергенция векторного поля.
  3. Градиент скалярного поля.
  1. Занесение под знак дифференциала.
  1. Уравнения касательных к графику функции.
  1. Линейные уравнения.
  2. Квадратные уравнения.
  3. Иррациональные уравнения.
  4. Показательные уравнения.
  5. Логарифмические уравнения.
  6. Тригонометрические уравнения.
  1. Вычисления и преобразования.
  2. Уравнения.
  3. Текстовые задачи.
  4. Геометрия.
  1. Алгебра.
  2. Геометрия.
  3. Реальная математика.