球上的三重积分 (x²+y²+z²)

本题要求通过变换到球坐标，计算球上的三重积分。

题目

计算三重积分：

\underset{V}{∭} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z

V : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1

解答

步骤 1

区域 V 是由球面 x² + y² + z² = 1 围成的单位球。对于此类区域，方便变换到球坐标：

为什么选择球坐标？

积分区域是球，被积函数只依赖于 r² = x² + y² + z²。球坐标将球变成 (r, θ, φ) 下的矩形 [0; 1] × [0; π] × [0; 2π]，被积表达式简化为 r²。这显著简化了计算。

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ

步骤 2

写出球坐标下的体积微元和积分上下限：

d x d y d z = r^{2} sin θ d r d θ d φ

0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq π, 0 \leq φ \leq 2 π

步骤 3

球坐标下的被积函数形式简单：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}

步骤 4

化为累次积分：

I = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} sin θ d θ \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r^{2} d r

步骤 5

计算关于 r 的内层积分：

\int_{0}^{1} r^{4} d r = \frac{1}{5}

步骤 6

计算关于 θ 的中间积分：

\int_{0}^{π} sin θ d θ = {[- cos θ]}_{0}^{π} = 2

步骤 7

计算关于 φ 的外层积分：

\int_{0}^{2 π} d φ = 2 π

步骤 8

将结果相乘：

I = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4 π}{5}

答案

I = 4π/5。

通过平均值验证

单位球的体积为 4π/3。函数 x² + y² + z² 在球上的平均值为 3 · (1/5) · R² = 3/5（R = 1 时，由对称性，每个坐标平均贡献 R²/5）。于是积分等于 V · ⟨f⟩ = (4π/3) · (3/5) = 4π/5。结果相符。

常见问题

如何计算球上的三重积分？

对于球，最方便的是变换到球坐标：x = r sin θ cos φ、y = r sin θ sin φ、z = r cos θ。变换的雅可比行列式为 r² sin θ，体积元 dx dy dz = r² sin θ dr dθ dφ。上下限：0 ≤ r ≤ R，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。

什么是球坐标？

球坐标是空间中点的位置由三个数给出的坐标系：r —— 到原点的距离，θ —— 与 Oz 轴的夹角，φ —— Oxy 平面内与 Ox 轴的夹角。它们特别适用于具有球对称性的区域：球、球壳、球扇形。

球坐标与柱坐标有何区别？

在柱坐标 (r, φ, z) 中，第三个坐标是高度 z（笛卡尔坐标）。在球坐标 (r, θ, φ) 中，r 是到原点的距离，θ 是与 Oz 轴的夹角。球坐标适用于球和球面；柱坐标适用于柱体和具有轴对称性的区域。

为什么雅可比行列式为 r² sin θ？

从笛卡尔坐标变换到球坐标的雅可比行列式是雅可比矩阵的行列式，等于 r² sin θ。该因子反映了变换下空间的拉伸。因子 r² 来自径向拉伸，sin θ 来自角度依赖性。