密度为 ρ = 24xyz 的四面体的质量

本题要求通过三重积分求具有变密度的物体的质量。

题目

求由以下平面围成的物体的质量：

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

ρ (x, y, z) = 24 x y z

解答

步骤 1

物体 V 是位于第一卦限、顶点为 O(0;0;0)、A(1;0;0)、B(0;1;0)、C(0;0;1) 的四面体。它由坐标平面 x = 0、y = 0、z = 0 和平面 x + y + z = 1 围成。

为什么物体恰好是四面体？

平面 x + y + z = 1 与坐标轴的交点为 (1;0;0)、(0;1;0) 和 (0;0;1)。这四个点连同原点 (0;0;0) 构成四面体的四个顶点。所有坐标非负，因此物体位于第一卦限。

步骤 2

设置积分上下限。先确定 x 的范围，再确定 y（依赖于 x），最后确定 z（依赖于 x 和 y）：

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x, 0 \leq z \leq 1 - x - y

步骤 3

具有变密度的物体的质量通过三重积分计算：

m = \underset{V}{∭} ρ d V = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} d y \int_{0}^{1 - x - y} 24 x y z d z

步骤 4

计算关于 z 的内层积分（密度 24xy 相对于 z 为常数，可提到积分号外）：

\int_{0}^{1 - x - y} 24 x y z d z = 24 x y \cdot \frac{{(1 - x - y)}^{2}}{2} = 12 x y {(1 - x - y)}^{2}

步骤 5

计算关于 y 的中间积分。可作代换 u = 1 − x − y：

如何作代换 u = 1 − x − y？

取 u = 1 − x − y，则 y = 1 − x − u、dy = −du。上下限：y = 0 时 u = 1 − x，y = 1 − x 时 u = 0。上下限交换连同负号，得到从 0 到 1 − x 对 u 的积分。该代换将 (1 − x − y)² 简化为 u²。

\int_{0}^{1 - x} 12 x y {(1 - x - y)}^{2} d y = x {(1 - x)}^{4}

步骤 6

代入后得到关于 x 的外层积分：

m = \int_{0}^{1} x {(1 - x)}^{4} d x

步骤 7

用代换 t = 1 − x 计算该积分：

为什么代换 t = 1 − x 很方便？

代换 t = 1 − x 将乘积 x(1 − x)⁴ 变为 (1 − t)t⁴——一个可逐项积分得多项式。此时上下限交换（从 1 到 0），由 dt 的负号补偿。

m = \int_{0}^{1} (1 - t) t^{4} d t = \int_{0}^{1} (t^{4} - t^{5}) d t = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}

答案

m = 1/30。

常见问题

如何通过三重积分求物体的质量？

质量按公式 m = ∭_V ρ(x, y, z) dV 计算，其中 V 是物体的体积，ρ 是密度。三重积分通过按物体边界设置上下限化为累次积分：先对 z（从下边界到上边界），再对 y（依赖于 x），最后对 x 积分。

为什么 y 和 z 的上下限依赖于其他变量？

物体由斜平面 x + y + z = 1 限定。对于固定的 x，y 的下限为零，上限为 1 − x。同理，z 由 z = 0 和 z = 1 − x − y 限定。这是具有斜面边界的区域的典型情形。

可以选其他积分顺序吗？

可以，也可以按其他顺序积分，例如按 x、z、y。结果相同，但计算复杂度可能不同。本题中顺序 z → y → x 自然地对应物体的边界。

如何验证答案的正确性？

一种方法是估计量级。四面体的体积 V = 1/6。密度 24xyz 在四面体上的平均值约为 24 · (1/4)³ = 24/64 = 3/8。则质量 ≈ V · ρ̄ = (1/6)·(3/8) = 1/16。我们的答案 1/30 更小，这与实际情况一致：密度在点 (1;1;1) 附近最大，但在四面体中该点位于边界上，密度不会在那里累积。