向量场在点 M(1;1;1) 的旋度

本题要求求向量场在给定点的旋度。

题目

求向量场的旋度：

\vec{a} = x^{2} y \vec{i} - 2 y^{3} z \vec{j} + 3 z^{2} x \vec{k}, M (1; 1; 1)

写出向量场 ā = P ī + Q j̄ + R k̄ 的旋度公式：

rot \vec{a} = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) \vec{i} - (\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}) \vec{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) \vec{k}

写出向量场的各分量：

P = x^{2} y, Q = - 2 y^{3} z, R = 3 z^{2} x

计算旋度公式中的偏导数：

为什么某些导数为零？

当相应的变量不出现在场的分量中时，导数为零。例如 ∂R/∂y = 0，因为 R = 3z²x 不依赖于 y。这对多项式场是典型情形，可显著简化计算。

\frac{\partial R}{\partial y} = 0, \frac{\partial Q}{\partial z} = - 2 y^{3}

\frac{\partial R}{\partial x} = 3 z^{2}, \frac{\partial P}{\partial z} = 0

\frac{\partial Q}{\partial x} = 0, \frac{\partial P}{\partial y} = x^{2}

将所求导数代入旋度公式：

rot \vec{a} = (0 - (- 2 y^{3})) \vec{i} - (3 z^{2} - 0) \vec{j} + (0 - x^{2}) \vec{k}

= 2 y^{3} \vec{i} - 3 z^{2} \vec{j} - x^{2} \vec{k}

将点 M(1; 1; 1) 的坐标代入旋度的表达式：

rot \vec{a} (M) = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - \vec{k} = (2; - 3; - 1)

rot ā(M) = (2; −3; −1)。

常见问题

如何求向量场的旋度？

向量场 ā = P ī + Q j̄ + R k̄ 的旋度按公式计算：rot ā = (∂R/∂y − ∂Q/∂z) ī − (∂R/∂x − ∂P/∂z) j̄ + (∂Q/∂x − ∂P/∂y) k̄。需要求出六个偏导数并代入该公式。

旋度的几何意义是什么？

向量场的旋度（涡量）刻画了场在给定点的旋转分量。旋度向量沿旋转轴方向，其大小与角速度成正比。若旋度为零，则场称为无旋场（势场）。

旋度与散度有何区别？

旋度是向量量，刻画场的旋转。散度是标量，刻画场是否有源（汇）。同一个场的两个量可能同时非零，但它们描述不同的性质。

如何求某具体点的旋度？

首先求旋度作为坐标 (x, y, z) 向量函数的一般表达式，然后将点 M 的坐标代入该表达式。本题中 rot ā(M) = (2; −3; −1)。