标量场在点 M(1;1;1) 的梯度

本题要求求标量场在给定点的梯度。

题目

求标量场的梯度：

u = x^{2} y - 2 y^{3} z + 3 z^{2} x, M (1; 1; 1)

写出标量场 u(x, y, z) 的梯度公式：

grad u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \vec{k}

计算标量场关于各变量的偏导数：

梯度与散度、旋度有何区别？

梯度作用于标量场，给出向量场。散度作用于向量场，给出标量。旋度作用于向量场，给出向量。这是三个不同的一阶微分算子。

\frac{\partial u}{\partial x} = 2 x y + 3 z^{2}

\frac{\partial u}{\partial y} = x^{2} - 6 y^{2} z

\frac{\partial u}{\partial z} = - 2 y^{3} + 6 z x

将所求偏导数组成梯度向量：

grad u = (2 x y + 3 z^{2}) \vec{i} + (x^{2} - 6 y^{2} z) \vec{j} + (- 2 y^{3} + 6 z x) \vec{k}

将点 M(1; 1; 1) 的坐标代入各偏导数：

{(\frac{\partial u}{\partial x})}_{M} = 2 + 3 = 5

{(\frac{\partial u}{\partial y})}_{M} = 1 - 6 = - 5

{(\frac{\partial u}{\partial z})}_{M} = - 2 + 6 = 4

写出点 M 处梯度的最终值：

grad u (M) = 5 \vec{i} - 5 \vec{j} + 4 \vec{k} = (5; - 5; 4)

grad u(M) = (5; −5; 4)。

几何意义

梯度指向标量场在给定点增长最快的方向，其模等于该最大增长率。在点 M(1;1;1) 处，梯度沿向量 (5; −5; 4) 方向，模为 √(25 + 25 + 16) = √66。

常见问题

如何求标量场的梯度？

标量场 u(x, y, z) 的梯度按公式计算：grad u = (∂u/∂x) ī + (∂u/∂y) j̄ + (∂u/∂z) k̄。需要求出三个偏导数并将它们组成向量。结果是向量场。

梯度的几何意义是什么？

梯度指向标量场在给定点增长最快的方向。它垂直于通过该点的等值线（或等值面）。梯度的模等于场的最大增长率。

梯度与方向导数有何区别？

方向导数是场在给定方向上的变化率，是标量。梯度是向量，指向场增长最快的方向。方向导数等于梯度与单位方向向量的内积。

如何求某具体点的梯度？

首先求梯度作为坐标 (x, y, z) 向量函数的一般表达式，然后将点 M 的坐标代入该表达式。本题中 grad u(M) = (5; −5; 4)。