向量场在点 M(1;1;1) 的散度

本题要求求向量场在给定点的散度。

题目

求向量场的散度：

\vec{a} = x^{2} y \vec{i} - 2 y^{3} z \vec{j} + 3 z^{2} x \vec{k}, M (1; 1; 1)

写出向量场 ā = P ī + Q j̄ + R k̄ 的散度公式：

div \vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

写出向量场的各分量：

P = x^{2} y, Q = - 2 y^{3} z, R = 3 z^{2} x

计算散度公式中的偏导数：

为什么它是标量量？

与旋度不同，散度是标量量。它是三个偏导数之和，每个都是标量。因此结果也是标量，而非向量。

\frac{\partial P}{\partial x} = 2 x y

\frac{\partial Q}{\partial y} = - 6 y^{2} z

\frac{\partial R}{\partial z} = 6 z x

将所求导数代入散度公式：

div \vec{a} = 2 x y - 6 y^{2} z + 6 z x

将点 M(1; 1; 1) 的坐标代入散度的表达式：

div \vec{a} (M) = 2 - 6 + 6 = 2

div ā(M) = 2。

常见问题

如何求向量场的散度？

向量场 ā = P ī + Q j̄ + R k̄ 的散度按公式计算：div ā = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。需要求出三个偏导数并求和。结果是标量量。

散度的物理意义是什么？

散度表明该点是向量场的源（div > 0）还是汇（div < 0）。若 div = 0，则场称为无源场（螺线管场）——通过任意闭合曲面的通量为零。

散度与旋度有何区别？

散度是标量量（刻画场的源与汇）。旋度是向量量（刻画场的旋转）。同一个场的两个量可能同时非零，描述不同的性质。

如何求某具体点的散度？

首先求散度作为坐标 (x, y, z) 标量函数的一般表达式，然后将点 M 的坐标代入该表达式。本题中 div ā(M) = 2。