平面 z = 1 内圆上的曲面积分 z dS

本题要求计算水平平面内圆形平面上的第一类曲面积分。

题目

计算第一类曲面积分：

\iint_{S} z d S, S : z = 1, x^{2} + y^{2} \leq 1

曲面 S 是平面 z = 1 内半径为 1 的圆盘。S 在 Oxy 平面上的投影是单位圆盘 D：x² + y² ≤ 1。

为什么投影是单位圆盘？

平面 z = 1 平行于 Oxy 平面，因此它在 Oxy 平面上的投影保持形状无畸变。约束 x² + y² ≤ 1 定义了单位圆盘。

计算平面 z = 1 的面积微元 dS。偏导数为零：

\frac{\partial z}{\partial x} = 0, \frac{\partial z}{\partial y} = 0

d S = \sqrt{1 + 0^{2} + 0^{2}} d x d y = d x d y

在曲面 S 上坐标 z 恒等于 1，因此被积函数简化为：f(x, y, z) = z = 1。

为什么可以把 z 替换为 1？

在曲面 S 上，对所有点都有 z = 1。因此沿该曲面积分时，函数 z 可以替换为常数 1。这简化了被积表达式。

化为关于投影 D 的二重积分：

\iint_{S} z d S = \iint_{D} 1 d x d y

所得二重积分是区域 D 的面积。由于 D 是单位圆盘，其面积等于 π：

\iint_{D} 1 d x d y = π \cdot 1^{2} = π

π。

几何意义

函数 f(x, y, z) = 1 在曲面 S 上的第一类曲面积分等于该曲面的面积。本题中曲面是单位圆盘，面积为 π。结果与圆盘面积一致，验证了求解的正确性。

常见问题

如何计算平面上的曲面积分？

对于平面 z = c（c 为常数），面积微元 dS = dx dy，因为 ∂z/∂x = ∂z/∂y = 0。此后积分化为关于曲面在 Oxy 平面上投影 D 的二重积分。

为什么本题答案与圆盘面积一致？

在整个曲面 S 上被积函数 z = 1，且 dS = dx dy。因此积分变为投影 D 的面积，而 D 与 S 重合。单位圆盘的面积为 π，故答案为 π。

如何通过二重积分计算圆盘面积？

区域 D 的面积计算为 ∬_D dx dy。对于单位圆盘可变换到极坐标：∬_D dx dy = ∫₀^{2π} dφ ∫₀^1 r dr = 2π · 1/2 = π。也可使用已知的圆盘面积公式 S = πR²。

如果平面是 z = 3 会怎样？

若平面为 z = 3，被积函数变为常数 3，结果为 3π。一般地，平面 z = c 在区域 D 上的 ∬_S z dS 等于 c · 面积(D)。