抛物面 x²+y²+2z = 4 上的第二类通量
本题要求利用奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理，计算抛物面上侧的第二类曲面积分。
题目
计算第二类曲面积分：
其中 S 是抛物面 x² + y² + 2z = 4, z ≥ 0 的部分的上侧。
解答
步骤 1
记向量场的各分量：
步骤 2
计算向量场的散度：
步骤 3
抛物面 x² + y² + 2z = 4 与平面 Oxy 在 z = 0 处相交于圆 x² + y² = 4（半径为 2）。用平面 z = 0 内的圆盘 D（x² + y² ≤ 4）封闭曲面 S，其外法向朝下。此时 Σ = S ∪ D 是闭合曲面。
为什么用平面 z = 0 内的圆盘封闭？
曲面 S 的边界是平面 z = 0 内的圆 x² + y² = 4。自然的封闭方式是取跨越该圆的平面圆盘。S 与 D 共同构成闭合曲面，围成抛物面下方的体积 V。
步骤 4
对闭合曲面 Σ 应用奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理：
步骤 5
由于 V 关于平面 x = 0 和 y = 0 的对称性：
为什么 ∭ x dV = ∭ y dV = 0？
区域 V 关于平面 x = 0 对称：每一点 (x, y, z) 都对应同密度的点 (−x, y, z)。这些点对 x 积分的贡献相互抵消。y 同理。函数 z 不具有这种对称性，因此其积分不为零。
步骤 6
还需计算 ∭_V z dV。变换到柱坐标：
步骤 7
计算关于 z 的内层积分，然后作代换 u = 4 − r² 计算关于 r 的中间积分：
如何作代换 u = 4 − r²？
取 u = 4 − r²，则 du = −2r dr，即 r dr = −du/2。上下限：r = 0 时 u = 4，r = 2 时 u = 0。上下限交换连同负号，将积分化为 ∫₀⁴ u² du / 2。
步骤 8
关于 φ 的外层积分给出因子 2π：
步骤 9
计算圆盘 D 上的积分。在 D 上 z = 0，因此 R = z² = 0，整个积分为零：
为什么 D 上的积分为零？
在圆盘 D 上坐标 z 恒为零，因此 R = z² = 0。外法向 n = (0, 0, −1)，所以内积 (F, n) = −R = 0。因此圆盘 D 对通量的贡献为零。
步骤 10
由可加性：∬_S = ∭_V − ∬_D。代入所得值：
答案
16π/3。
