沿锥面的曲面积分 x dS

本题要求计算被柱体截取的锥面部分上的第一类曲面积分。

题目

计算第一类曲面积分：

\iint_{S} x d S, S : z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, x^{2} + y^{2} = 2 x

解答

步骤 1

柱体 x² + y² = 2x 定义了 Oxy 平面上的积分区域。配方：

配方给出了什么？

方程 (x−1)² + y² = 1 描述了以 (1; 0) 为圆心、半径为 1 的圆。这对于确定 Oxy 平面上的积分区域很重要：该区域是相对原点偏移的圆盘。

x^{2} - 2 x + y^{2} = 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1

步骤 2

曲面由图像 z = √(x²+y²) 给出。曲面面积微元由公式计算：

为什么 dS = √2 dx dy？

对于由 z = f(x, y) 给出的曲面，曲面面积微元为 dS = √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy。本题中 ∂z/∂x = x/√(x²+y²)，∂z/∂y = y/√(x²+y²)。这些导数的平方和等于 1，因此被开方数化简为 2。

d S = \sqrt{1 + {(\frac{\partial z}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial y})}^{2}} d x d y

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

d S = \sqrt{2} d x d y

步骤 3

变换到极坐标：x = r cos φ、y = r sin φ、dx dy = r dr dφ。柱体方程变为：

r^{2} = 2 r cos φ \Rightarrow r = 2 cos φ, φ \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

为什么 φ 的上下限是 −π/2 到 π/2？

由 r = 2 cos φ 得 r ≥ 0，因此 cos φ ≥ 0。该条件在 φ ∈ [−π/2, π/2] 上成立。在这些限度内 cos φ 非负，区域 D 被完全覆盖。

步骤 4

将 x = r cos φ 和 dS = √2 · r dr dφ 代入积分：

\iint_{S} x d S = \sqrt{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} cos φ d φ \int_{0}^{2 cos φ} r^{2} d r

步骤 5

计算关于 r 的内层积分：

\int_{0}^{2 cos φ} r^{2} d r = \frac{{(2 cos φ)}^{3}}{3} = \frac{8 {cos}^{3} φ}{3}

步骤 6

代入后得到关于 φ 的积分：

\iint_{S} x d S = \frac{8 \sqrt{2}}{3} \int_{- π / 2}^{π / 2} {cos}^{4} φ d φ

如何计算 cos⁴φ 的积分？

积分 ∫_{−π/2}^{π/2} cos⁴φ dφ 可通过降幂公式 cos²φ = (1 + cos 2φ)/2 计算。应用两次并积分，得到标准结果 3π/8。

步骤 7

代入 cos⁴φ 积分的值，得到最终答案：

\int_{- π / 2}^{π / 2} {cos}^{4} φ d φ = \frac{3 π}{8}

\iint_{S} x d S = \frac{8 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3 π}{8} = π \sqrt{2}

答案

π√2。

常见问题

如何计算第一类曲面积分？

第一类曲面积分 ∬_S f(x, y, z) dS 通过将曲面投影到坐标平面 D 上化为二重积分：dS = √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy。然后按常规方法计算所得的二重积分。

如何计算曲面 z = f(x, y) 的面积微元 dS？

若曲面由 z = f(x, y) 显式给出，面积微元为 dS = √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy。本题中对于锥面 z = √(x²+y²)，此公式给出 dS = √2 dx dy——常数因子。

为什么变换到极坐标时出现因子 r？

因子 r 是从笛卡尔坐标变换到极坐标的雅可比行列式：dx dy = r dr dφ。几何上它反映了映射下面积的拉伸。没有该因子，积分将计算错误。

第一类和第二类曲面积分有何区别？

第一类曲面积分（对曲面面积）不依赖于曲面的侧，含有 dS。第二类曲面积分（通量）依赖于侧，含有 dS 在坐标平面上的投影（dy dz、dz dx、dx dy）。本题为第一种情形。