半径为 1 的半球面上的第二类通量

本题要求利用奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理，计算半球面上侧的第二类曲面积分。

题目

计算第二类曲面积分：

\iint_{S} (x^{2} + y^{2}) d y d z + (x^{2} + z^{2}) d z d x + (y^{2} + z^{2}) d x d y

其中 S 是半球面 x² + y² + z² = 1, z ≥ 0 的上侧。

解答

步骤 1

记向量场的各分量：

P = x^{2} + y^{2}, Q = x^{2} + z^{2}, R = y^{2} + z^{2}

步骤 2

计算向量场的散度：

div \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 2 x + 2 y + 2 z

步骤 3

曲面 S 不是闭合的。用平面 z = 0 内的圆盘 D（x² + y² ≤ 1）将其封闭。半球面上在 D 处的外法向朝下：n = (0, 0, −1)。此时 Σ = S ∪ D 是闭合曲面。

为什么选择平面 z = 0 内的圆盘？

半球面 x² + y² + z² = 1, z ≥ 0 的边界是平面 z = 0 内的圆 x² + y² = 1。自然的封闭方式是取同一平面内的平面圆盘。两者共同构成闭合曲面，围成半球体积 V。

步骤 4

对闭合曲面 Σ = S ∪ D 应用奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理：

\iint_{S} + \iint_{D} = \underset{V}{∭} (2 x + 2 y + 2 z) d V

步骤 5

计算三重积分。由于区域 V 关于平面 x = 0 和 y = 0 对称：

为什么 ∭ z dV = π/4？

半径为 1 的半球体积为 (2/3)π。半球关于 z 轴的形心位于距底面 3/8 高度处（标准结果）。因此 ∭_V z dV = V · z_c = (2π/3)·(3/8) = π/4。

\underset{V}{∭} x d V = \underset{V}{∭} y d V = 0, \underset{V}{∭} z d V = \frac{π}{4}

\underset{V}{∭} (2 x + 2 y + 2 z) d V = 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

步骤 6

计算圆盘 D 上的积分。在 D 上 z = 0，因此 R = y² + z² = y²。外法向朝下（n = (0,0,−1)），出现负号：

\iint_{D} = - \iint_{D} y^{2} d x d y = - \int_{0}^{2 π} {sin}^{2} φ d φ \int_{0}^{1} r^{3} d r = - π \cdot \frac{1}{4} = - \frac{π}{4}

为什么 D 上的积分前出现负号？

在公式 ∬_D P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∬_D (F, n) dσ 中，法向 n 取为区域 V 的外法向。在下底面（平面 z = 0）外法向朝下，即 n = (0, 0, −1)。因此内积 (F, n) = −R = −y²，从而得到负号。

步骤 7

由可加性：∬_S = ∭_V − ∬_D。代入所得值：

\iint_{S} = \frac{π}{2} - (- \frac{π}{4}) = \frac{π}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

答案

3π/4。

常见问题

如何计算向量场通过非闭合曲面的通量？

如果曲面不闭合，用附加曲面（通常为平面）将其封闭，得到闭合曲面。然后对闭合曲面应用奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理，单独计算附加部分的积分，再相减。

什么是奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理？

该定理将向量场通过闭合曲面的通量与散度在该曲面所围体积上的三重积分联系起来：∬_Σ (F, n) dσ = ∭_V div F dV。其中 n 是曲面的外法向。

如何选择法向的方向？

对于围成区域 V 的闭合曲面，法向总取外法向（从区域 V 指向外部）。上部分（半球面）朝上，下部分（圆盘）朝下。这对应于「从物体向外」的方向。

为什么圆盘 D 上的积分不为零？

在圆盘 D 上 z = 0，因此 R = y² + z² = y²。单位圆盘上的积分 ∬_D y² dx dy 等于 π/4——不为零，因为被积函数 y² 仅关于 y 为偶函数，关于 x 并非奇函数。因此圆盘对通量的贡献显著。