f(x) = x · ln(2x) 的原函数

本题要求求出函数 f(x) = x · ln(2x) 的原函数 F(x)，并满足条件 F(1) = 0。

题目

$f (x) = x \cdot ln (2 x), F (1) = 0$

应用分部积分公式：

\int u d v = u v - \int v d u

令 u = ln(2x)（则 du = (1/x) dx），dv = x dx（则 v = x²/2）：

u = ln (2 x), d u = \frac{1}{x} d x

d v = x d x, v = \frac{x^{2}}{2}

代入分部积分公式：

\int x \cdot ln (2 x) d x = \frac{x^{2} \cdot ln (2 x)}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x

计算剩余的积分，得到原函数的一般表达式：

F (x) = \frac{x^{2} \cdot ln (2 x)}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C

从条件 F(1) = 0 求出常数 C。注意到 ln 2 是常数：

F (1) = \frac{ln 2}{2} - \frac{1}{4} + C = 0

由此 C = 1/4 − (1/2)·ln 2。所求的原函数为：

$F (x) = \frac{x^{2} \cdot ln (2 x)}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{ln 2}{2}$

常见问题

如何求 f(x) = x · ln(2x) 的原函数？

使用分部积分法 ∫ u dv = uv − ∫ v du。取 u = ln(2x)（对数微分后简化），dv = x dx（容易积分到 x²/2）。

ln(2x) 的导数是多少？

根据复合函数求导法则：(ln(2x))′ = 1/(2x) · 2 = 1/x。来自自变量的因子 2 与分母 2x 相消。因此 du = (1/x) dx——与 ln x 的情形相同。

为什么 C 含 ln 2？

由条件 F(1) = 0 得到：F(1) = ln(2·1)/2 − 1/4 + C = ln 2/2 − 1/4 + C = 0。由此 C = 1/4 − ln 2/2。由于上限为 1 而非 1/2，ln 2 不会被消去。

什么情况下对对数使用分部积分法？

当被积表达式包含对数与多项式的乘积，或对数单独出现时。此时取对数为 u，其余部分为 dv。对数微分后产生简单的有理函数，积分化为表格形式。